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一:比例的性质及平行线分线段成比例定理
(一)相关概念::两条线段的比就是两条线段长度的比
在同一长度单位下两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段
的比是,或写成a:b=m:n;其中a叫做比的前项,b叫做比的后项
2:比例尺=图上距离/实际距离
3:成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段,记作:(或a:b=c:d)
①线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项,
②线段a叫首项,d叫a,b,c的第四比例项。
③比例中项:若的比例中项.
(二)比例式的性质
:
2.
3.
4、黄金分割:
把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中AC=,
(三)平行线分线段成比例定理
:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图:当AD∥BE∥CF时,都可得到=.=,=,
语言描述如下:=,=,=.
(4)上述结论也适合下列情况的图形:
图(2)图(3)图(4)图(5)
:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
A型X型
由DE∥BC可得:.
:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线).
如上图:若=.=,=,则AD∥BE∥CF
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.
:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
二:相似三角形:
(一):定义:
1:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。用符号“∽”表示,
2:相似比:相似三角形的对应边的比叫做相似比。
(二):.相似三角形的判定定理:
1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下:
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS(ASA)
HL
相似三角形
的判定
两边对应成比例且夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
2:两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);
用数学语言表述如下:
∵∠A=∠D,∠B=∠E∴△ABD∽△DEF
3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
用数学语言表述如下:
∵∴△ABD∽△DEF
4:三边对应成比例的两个三角形相似;
用数学语言表述如下:
∵=∴△ABD∽△DEF
5:直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
用数学语言表述如下:
∵∠C=∠F=90°∴△ABD∽△DEF
6:直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似
(即:射影定理).
相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型:即A型和X型。
Ⅰ.相交线型
下图1:若△ABC∽△DCB,则=(此类型比例式最常用)
C
E
D
B
A
C
A
D
B.
(三):相似三角形的性质
1:相似三角形的对应角相等,对应边成比例
2:相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
3:相似三角形周长的比等于相似比
4:相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
(1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数)
(2)相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等,对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
四、位似图形
1:定义1:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比。
定义2:由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小
2:性质:每一组对应点和位似中心在同一直线上,到位似中心的距离之比都等于位似比。
初三数学《解直角三角形》知识提纲
(何老师归纳)
一:锐角三角函数的概念
1:在△ABC中,∠C=90°锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
2:锐角三角函数的取值范围:0≤sinα≤1,0≤cosα≤1,tanα≥0,cotα≥0.
二:锐角三角函数之间的关系
1:平方关系
2:倒数关系tanAcotA=1
3:商关系:tanA=cotA=
4:互余关系sinA=cos(90°—A)=cosB,cosA=sin(90°—A)=sinB
tanA=cot(90°—A)=cotB,cotA=tan(90°—A)=tanB
三:特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
不存在
cotα
不存在
1
0
说明:锐角三角函数的增减性,当角度在0°~90°之间变化时.
(1)正弦值正切值,随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
(2)余弦值余切值,随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
四:解直角三角形的概念:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
实际问题三概念:(1)俯、仰角.(2)方位角、象限角.(3)坡角、坡度.
仰角
俯角
北
东
西
南
α
h
l
i
i=h/l=tgα
五:补充有关公式
a
(1)==
(2)Rt△面积公式:
(3)结论:直角三角形斜边上的高
(4):如右图,
∵在Rt△ABP中,BP=xcotα,在Rt△AQB中,BQ=xcotβ,且BQ—BP=a,
∴xcotβ-xcotα=a.
六:解直角三角形的知识的应用,可以解决:
(1)测量物体高度.(2)有关航行问题.
(3)计算坝体或边路的坡度等问题