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“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处,下意识地有针对性地采取措施,以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。
非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别,在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发,在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠,不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。
在《高等数学》中,出发点处就有函数,极限,连续,可导,可微等重要概念。
在《线性代数》的第一知识板块中,最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中,则是矩阵的特征值与特征向量。
在《概率统计》中,第一重要的概念是分布函数。不过,《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
非数学专业的本科学生大多没有概念意识,记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟,下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。
大学数学教学目的,通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视,而且也没时间来进行概念训练。
考研数学目的在于选拔,考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上,往往会有学生莫名惊诧,“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。
做考研数学复习,首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
按考试时间与分值来匹配,一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程,每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起,微积分有近四百年历史。文献浩如烟海,知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的,只是初等微积分的一少部分。方法十分经典,概念非常重要。学生们要做的是接受,理解,记忆,学会简单推理。当你面对一个题目时,你的自然反应是,“这个题目涉及的概念是---”,而非“在哪儿做过这道题”,才能算是有点入门了。
你要考得满意吗?基点不在于你看了多少难题,关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
阳春三月风光好,抓好基础正当时。
考研数学讲座(2)笔下生花花自红
在爱搞运动的那些年代里,数学工作者们经常受到这样的指责,“一支笔,一张纸,一杯茶,鬼画桃符,脱离实际。”发难者不懂基础研究的特点,不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响,今天的学生们学习数学时,也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们,往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料,看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。
数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多,镜子一拿走,印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时,你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或“依据已知条件,我首先能得到什么?”(分析法);
或“要证明这个结论,就是要证明什么?”(综合法)。
在很多情形下,写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。
“连续函数与不连续函数的和会怎样?”
写成“连续A+不连续B=?”后就可能想到,只有两个答案,分别填出来再说。(穷尽法)。
如果,“连续A+不连续B=连续C”移项,则“连续C-连续A=不连续B”
这与定理矛盾。所以有结论:连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义,比如“函数在一点可导”,其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义,关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如,
题面上有已知条件f′(1)>0,概念深,写得熟的人立刻就会先写出
h趋于0时,lim(f(1+h)-f(1))/h>0
然后由此自然会联想到,下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。
又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα,α≠0,要是移项写成
(A-λE)α=0,α≠0,
这就表示α是齐次线性方程组(A-λE)X=0的非零解,进而由理论得到算法。
数学思维的特点之一是“发散性”。
一个数学表达式可能有几个转换方式,也许从其中一个方式会得到一个新的解释,这个解释将导引我们迈出下一步。
车到山前自有路,你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步,观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”,那就是他艰难地走向辉煌的28步。
对于很多考生来说,不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
《高等数学》感觉不好的考生,第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差,讨论函数的图形特征,积分,解微分方程等,反应必然都慢。
《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式,那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题,选择一个分块变形就明白了。
《概率统计》中,要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说,二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分,就能在两类大题上得分。
要考研吗,要去听指导课吗,一定要自己先动笔,尽可能地把基本计算练一练。
我一直向考生建议,临近考试的一段时间里,不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书,不查阅,凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做,你一写出来也可能会面目全非。
多动笔啊,“写”“思”同步步履轻,笔下生花花自红。
考研数学讲座(3)极限概念要体验
极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史,学数学的都多少颇为伤感。
很久很久以前,西出阳关无踪影的老子就体验到,“一尺之竿,日取其半,万世不竭。”
近两千年前,祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率;用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形,进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到,“割而又割,即将n取得越来越大,就能得到越来越精确的园周率值或面积。”
国人朴实的体验延续了一千多年,最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类,一类是x→x0;一类是x→∞,
“当自变量有一个特定的发展趋势时,相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a?”
如果是,则称数a为函数的极限。
“无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步,最直观的一步。
学习极限概念,首先要学会观察,了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则,我们还是说自然数列没有极限。
自然数n趋于无穷时,数列1/n的极限是0;x趋于无穷时,函数1/x的极限是0;
回顾我们最熟悉的基本初等函数,最直观的体验判断是,
x趋于正无穷时,
正指数的幂函数都与自然数列一样,无限增大,没有极限。
x趋于正无穷时,底数大于1的指数函数都无限增大,没有极限。
x→0+时,对数函数lnx趋于-∞;x趋于正无穷时,lnx无限增大,没有极限。
x→∞时,正弦sinx与余弦conx都周而复始,没有极限。在物理学中,正弦y=sinx的图形是典型的波动。
我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin(1/x)。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来,,只向中心点x=0靠近了一点点,而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在+1与-1之间上下波动140多次。在x=0的邻近,函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起,就好象是“电子云”。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时,曾看到有的教材竟然把函数y=sin(1/x)的值整整印了一大页,他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
x趋于0时(1/x)sin(1/x)不是无穷大,直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥,让震荡要多疯狂有多疯狂。
更深入一步,你就得体验,在同一个过程中,如果有多个变量趋于0,(或无限增大。)就可能有的函数趋于0时(或无限增大时)“跑得更快”。这就是高阶,低阶概念。
考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。
多少代人的千锤百炼,给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言,(即ε–δ语言)。没有这套语言,我们没有办法给出极限定义,也无法严密证明任何一个极限问题。但是,这套语言是高等微积分的内容,非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来,考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。研究生入学考题中,考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是
“若x趋于∞时,相应函数值f(x)有正的极限,则当∣x∣充分大时,(你不仿设定一点x0,当∣x∣>x0时,)总有f(x)>0”
*“若x趋于x0时,相应函数值f(x)有正的极限,则在x0的一个适当小的去心邻域内,f(x)恒正”
这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过,这不正和“近朱者赤,近墨者黑”一个道理吗。
除了上述苻号体验外,能掌握下边简单的数值体验则更好。
若x趋于无穷时,函数的极限为0,则x的绝对值充分大时,(你不仿设定一点x0,当∣x∣>x0时,)函数的绝对值恒小于1
若x趋于无穷时,函数为无穷大,则x的绝对值充分大时,(你不仿设定一点x0,当∣x∣>x0时,)函数的绝对值全大于1
*若x趋于0时,函数的极限为0,则在0点的某个适当小的去心邻域内,或x的绝对值充分小时,函数的绝对值全小于1
(你不仿设定有充分小的数δ>0,当0<
∣x∣<δ时,函数的绝对值全小于1)
没有什么好解释的了,你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。你可以试着理解那些客观存在,可以自由设定的点x0,或充分小的数δ>0,并利用它们。
考研数学讲座(4)“存在”与否全面看
定义,是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。
即便有了定义,为了方便起见,数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价,又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性,就有如下三个常用的等价条件。
观察x趋于x0的过程时,我们并不追溯x从哪里出发;;我们总是向未来,看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理:
定理(1)极限存在的充分必要条件是,无论x以何种方式趋于x0,相应的函数值总有相同的极限A存在。
这个定理条件的“充分性”没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x逼近x0的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理,只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理:
“如果函数(在某一过程中)有极限存在,则极限唯一。”
唯一性定理的基本应用之一,是证明某个极限不存在。
用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件:
定理(2)极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。
这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义,导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为
函数在一点连续,等价于函数在此点左连续,右连续。
函数在一点可导,等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。
由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感,一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。
(3)突出极限值的等价条件
考数学一,二的考生,还要知道另一个等价条件:
定理(3)函数f(x)在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是,f(x)-A为无穷小。
从“距离”的角度来理解,在某一过程中函数f(x)与数A无限接近,自然等价于
:函数值f(x)与数A的距离∣f(x)-A∣无限接近于0
如果记α=f(x)-A,在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换:
f(x)=A+α(无穷小)
考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。“存在”与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用exp()表示以e为底数的指数函数,()内填指数。
例1x趋于0时,函数exp(1/x)不存在极限。
分析在原点x=0的左侧,x恒负,在原点右侧,x恒正。所以
x从左侧趋于0时,指数1/x始终是负数,故左极限f(0-0)=0,
x从右侧趋于0时,函数趋向+∞,由定理(2),函数不存在极限。也不能说,x趋于0时,exp(1/x)是无穷大。
但是,在这种情形下,函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0
例2x趋于0时,“震荡因子”sin(1/x)不存在极限。俗称震荡不存在。
分析用海涅定理证明其等价问题,“x趋于+∞时,sinx不存在极限。”
分别取x=nπ及x=2nπ两个数列,n趋于+∞时,它们都趋于+∞,相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1,不满足唯一性定理(定理(1))。故sinx不存在极限。(构造法!)
例3x趋于∞时,函数y=arctgx不存在极限。
分析把∞视为一个虚拟点,用定理(2)。由三角函数知识得,
x趋于+∞时,函数极限为π/2,x趋于-∞时,函数极限为-π/2,
故,函数y=arctgx不存在极限。
请注意,证明过程表明,函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。即
-∞方向有水平渐近线y=-π/2;+∞方向则有有y=π/2
例4当x→1时,函数f(x)=(exp(1/(x-1)))(x平方-1)∕(x-1)的极限
(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞
b]分析考查x→1时函数的极限,通常认为x不取1;而x≠1时,可以约去分母(x-1),让函数的表达式化为f(x)=(x+1)exp(1/(x-1))
左极限f(1-0)=0,x从右侧趋于1时,函数趋向+∞,(选(D))
(画外音:多爽啊。这不过是“典型不存在1”的平移。)
例5f(x)=(2+exp(1/x))∕(1+exp(4/x))+sinx∕∣x∣,求x趋于0时函数的极限。
分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。x=0是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉“典型不存在1”,这个5分题用6分钟足够了。实际上
x→0-时,limf(x)=(2+0)/(1+0)-1=1
x→0+时,exp(1/x)→+∞,前项的分子分母同除以exp(4/x)再取极限
limf(x)=(0+0)/(0+1)+1=1
由定理(2)得x→0时,limf(x)=1
例6曲线y=exp(1/x平方)arctg((x平方+x+1)∕(x-1)(x+2))的渐近线共有
(A)1条.(B)2条。(C)3条。(D)4条。选(B)
分析先观察x趋于∞时函数的状态,考查曲线有无水平渐近线;再注意函数结构中,各个因式的分母共有三个零点。即0,1和-2;对于每个零点x0,直线x=x0都可能是曲线的竖直渐近线,要逐个取极限来判断。实际上有
x→∞时,limy=π/4,曲线有水平渐近线y=π/4
其中,x→∞时,limexp(1/x平方)=1;im((x平方+x+1)∕(x-1)(x+2))=1(分子分母同除以“x平方”)
考查“嫌疑点”1和-2时,注意运用“典型不存在3”,
f(1-0)=-eπ/2;f(1+0)=eπ/2,x=1不是曲线的竖直渐近线。
类似可以算得x=-2不是曲线的竖直渐近线。
x→0时,前因式趋向+∞;后因式有极限arctg(-1/2),x=0是曲线的竖直渐近线。
啊,
要想判断准而快,熟记“三个不存在”。看了上面几例,你有体会吗?
*还有两个判断极限存在性的定理(两个充分条件):
定理(4)夹逼定理——若在点x0邻近(或|x|充分大时)恒有g(x)≤f(x)≤h(x),且x→x0(或x→∞)时limg(x)=limh(x)=A则必有limf(x)=A
定理(5)单调有界的序列有极限。(或单增有上界有极限,或单减有下界有极限。)
加上讲座(3)中的““近朱者赤,近墨者黑”定理”。共计六个,可以说是微分学第一组基本定理。
考研数学讲座(5)无穷小与无穷大
微积分还有一个名称,叫“无穷小分析”。
在某一过程中,函数f(x)的极限为0,就称f(x)(这一过程中)为无穷小。
为了回避ε–δ语言,一般都粗糙地说,无穷小的倒数为无穷大。
无穷小是个变量,不是0;y=0视为“常函数”,在任何一个过程中都是无穷小。不过这没啥意义。
依据极限定义,无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点,历史上约定,“非法地”使用等号来表示无穷大。(潜台词:并不表示极限存在。)比如
x从右侧趋于0时,limlnx=-∞;x从左侧趋于π/2时,limtgx=+∞
无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程,无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们(在特定过程中)的发展趋势。在适当选定的区间内,无穷大量的绝对值没有上界。
y=tgx(在x→π/2左側时)是无穷大。在(0,π/2)内y=tgx是无界变量
x趋于0时,函数y=(1/x)sin(1/x)不是无穷大,但它在区间(0,1)内无界。
不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E,不管它有多大,当过程发展到一定阶段以后,无穷大量的绝对值能全都大于E;而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点,此点处的函数绝对值大于E。
有限个无穷小量的线性组合是无穷小;“∞-∞”则结果不确定。
乘积的极限有三类可以确定:
有界变量•无穷小=无穷小无穷小•无穷小=(高阶)无穷小无穷大•无穷大=(高阶)无穷大
其它情形都没有必然的结果,通通称为“未定式”。
例10作数列x=1,0,2,0,3,0,---,0,n,0,---
y=0,1,0,2,0,3,0,---,0,n,0,---
两个数列显然都无界,但乘积xy是零数列。这表示可能会有无界•无界=有界
两个无穷小的商求极限,既是典型的未定式计算,又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。如果极限为1,分子分母为等价无穷小;极限为0,分子是较分母高阶的无穷小;极限为其它实数,分子分母为同阶无穷小。
无穷大有类似的比较。
无穷小(无穷大)的比较是每年必考的点。
x趋于0时,α=xsin(1/x)和β=x都是无穷小,且显然有
∣α∣≤∣β∣;但它们的商是震荡因子sin(1/x),没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要,又显示了震荡因子sin(1/x)的用途。能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到,很多反例都用到了震荡因子。
回到基本初等函数,我们看到
x趋于+∞时,y=x的μ次方,指数μ>0的幂函数都是无穷大。且习惯地称为μ阶无穷大。
(潜台词:这多象汽车的1档,2档,---,啊。)
x趋于+∞时,底数大于1的指数函数都是无穷大;底数小于1的都是无穷小。
x趋于+∞或x趋于0+时,对数函数是无穷大。
x趋于∞时,sinx及cosx都没有极限。正弦,余弦,反三角函数(在任何区间上)都是有界变量。
请体验一个很重要也很有趣的事实。
(1)x→+∞时,lim(x的n次方)∕exp(x)=0,这表明:
“x趋于+∞时,指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”
或者说,“x趋于+∞时,函数exp(-x)是任意高阶的无穷小。”
(2)x→+∞时,limlnx∕(x的δ次方)=0;δ是任意取定的一个很小的正数。这表明:
“x趋于+∞时,对数函数lnx是比x的δ次方都还要低阶的无穷大。”
在数学专业方向,通常称幂函数(x的n次方)为“缓增函数”;称exp(-x)为“速降函数”。
只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验,那收获真是很小很小。
例11函数f(x)=xsinx(A)当x→∞时为无穷大。(B)在(-∞,+∞)内有界。
(C)在(-∞,+∞)内无界。(D)在时有有限极限。
分析这和y=(1/x)sin(1/x)在x趋于0时的状态一样。(选(C))
例12设有数列Xn,具体取值为
若n为奇数,Xn=(n平方+√n)∕n;若n为偶数,Xn=1∕n
则当n→∞时,Xn是(A)无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量(D)无界变量
分析一个子列(奇下标)为无穷大,一个子列是无穷小。用唯一性定理。选(D))
请与“典型不存在1”对比。本质相同。
例13已知数列Xn和Yn满足n→∞时,limXnYn=0,则
(A)若数列Xn发散,数列Yn必定也发散。(B)若数列Xn无界,数列Yn必定也无界。
(C)若数列Xn有界,数列Yn必定也有界。(D)若变量1∕Xn为无穷小量,则变量Yn必定也是无穷小量。
分析尽管两个变量的积为无穷小,我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反例。对本题的(A)(B)(C)来说,只要Yn是适当高阶的无穷小,就可以保证limXnYn=0
无穷小的倒数为无穷大。故(D)中条件表明Xn为无穷大。要保证limXnYn=0,Yn必须为无穷小量。应选答案(D)。
考研数学讲座(6)微观分析始连续
微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。
由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的,且由一个数学式子所表示的函数,统称为初等函数。
大学数学还让学生学习两类“分段函数”。或是在不同的定义区间内,分别由不同的初等函数来表示的函数;或者是有孤立的特别定义点的函数。
微分学研究函数的特点,是先做微观分析。即讨论函数的连续性,可导性,可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性,有界性,奇偶性,周期性等。
定义——设函数f(x)在点x0的邻近有定义。当x趋于x0时,(x0),就称函数f在点x0连续。否则,称函数f在点x0间断。x0是它的间断点。
“函数f在点x0的邻近有定义”意味着,如果函数在点x0没有定义,那x0只是函数的一个孤立的无定义点。也就是函数的一个天然的间断点。函数y=1/x在原点就是这样的。
“有极限”意味着存在。在分段函数情形,要立即转换成“左右极限存在且相等。”
函数在一点连续的定义等式,“左极限=右极限=中心点函数值”,最多可以得出两个方程。如果在这里出题:“用连续定义求参数值。”则函数可以含一个或两个参数。
如果函数在区间上每一点连续,就称函数在此区间上连续。
最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大,最小值。
“有”,意味着至少有两点,相应的函数值分别为函数值域中的最大,最小数。
介值定理——如果数c能被夹在连续函数的两个值之间,则c一定属于此函数的值域。
请体会我的描述方式,这比教科书上写的更简明。
介值定理的一个特殊推论是,连续函数取正取负必取零。从理论上讲,求方程F(x)=0的根,可以转化为讨论函数F的零点。
例16试证明,如果函数f在闭区间上连续,则它的值域也是一个闭区间。
分析函数f在闭区间上连续,f必有最大值M=f(x1),最小值m=f(x2),闭区间[m,M]内的任一数c,自然就夹在f的两个最值之间,因而属于f的值域。即f的值域就是这个闭区间。
例17试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。
(潜台词:没有零点的连续函数定号。)
分析如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。
(潜台词:函数究竟恒正还是恒负,选个特殊点算算。)
例18函数f在闭区间[a,b]上连续,其值域恰好也是[a,b],试证方程f(x)=x在区间[a,b]上有解。
分析作F=f(x)-x,它显然在已知闭区间上连续。且有F(a)≥0而F(b)≤0
如果有一等号成立,则结论得证。否则,用介值定理。
(潜台词:要寻找反号的两个函数值,当然该先把已知点拿去试试。)
连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。
若函数在某点间断,但函数在这点的
左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。
若函数在某点间断,且至少有一个单侧极限不存在,就称此点为第二类间断点。
第一类间断又分为两种。左右极限不相等,跳跃间断;左右极限相等,可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时,你就规定极限值等于此点的函数值,让其连续。
对于第二类间断,我们只学了两个特例。即
x=0是震荡因子y=sin(1/x)的震荡间断点。(画外音:请联想“典型不存在(2)”)
x=0是函数y=exp(1/x)的无穷间断点。(画外音:请联想“典型不存在(1)”)
只要函数在x0的一个单側为无穷大,x0就是函数的无穷间断点。x=x0是图形的竖直渐近线。
考题中经常把问题平移到别的点去讨论。
例19确定y=exp(1/x)arctg((x+1)/(x-1))的间断点,并说明其类型。
分析函数的解析表达式中,分母有零点0,1(潜台词:两个嫌疑犯啊。)
在点0,前因子的右极限为正无穷,后因子连续非零,故0点是无穷间断点.
在点1,前因子连续非零,后因子的左极限是-π/2,右极限为π/2,第一类间断。
三个特殊的“不存在”记得越熟,计算左右极限就越快。要有一个基本材料库,典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟,你就会走得踏实走得远。
例20设函数f(x)=x∕(a+exp(bx))在(-∞,+∞)内连续,且x→-∞时,极限limf(x)=0;则常数a,b满足
(A)a<0,b<0(B)a>0,b>0(C)a≤0,b>0(D)a≥0,b<0
分析初等函数的表达式中若有分母,则分母的零点是其天然没有定义的点,也就是函数的一个天然间断点。
已知函数连续,则其分母不能为0,而指数函数exp(bx)的值域为(0,+∞),故a≥0
又,x→-∞时,极限limf(x)=0表明,f(x)分母是较分子x高阶的无穷大,即要指数函数exp(bx)为无穷大,只有b<0,应选(D)。
(画外音:一个4分题,多少概念与基础知识综合!典型的考研题!漂亮的考研题!)
*例21已知函数f(x)在区间[a,b]上处处有定义,且单调。若f(x)有间断点,则只能是第一类间断点。
分析(构造法)不仿设f(x)在区间[a,b]上单增,但是有间断点x0;我们得证明f在点x0的左右极限都存在。
已设f在区间单增,余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有
x→x0-时,f单增,显然f(b)是它的一个上界。故左极限存在。
x→x0+时,自变量从右向左变化,相应的f值单减。显然f(a)是其一个下界。右极限也存在。
构造法是微积分自己的方法。它的要点是,实实在在地梳理函数的构造及其变化,由此推理获得所要结果。
考研数学讲座(7)导数定义是重点
选定一个中心点x0,从坐标的角度讲,可以看成是把原点平移;从物理角度说,是给定一个初始点;从观察角度议,是选好一个边际点。微量分析考虑的问题是:在x0点邻近,如果自变量x有一个增量Δx,则
函数相应该有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),我们如何表述,研究及估计这个Δy呢?
最自然的第一考虑是“变化率”。中国人把除法称为“归一法”。无论Δx的绝对值是多少,Δy/Δx总表示,“当自变量变化一个单位时,函数值平均变化多少。”
定义令Δx趋于零,如果增量商Δy/Δx的极限存在,就称函数在点x0可导。称极限值为函数在点x0的导数。记为Δx→0,lim(Δy/Δx)=f′(x0)
或Δx→0,lim((f(x0+Δx)-f(x0))/(x-x0))=f′(x0)
或x→x0,lim((f(x)-f(x0))/(x-x0))=f′(x0)
理解1你首先要熟悉“增量”这个词。它代表着一个新的思维方式。增量Δy研究好了,在x0邻近,f(x)=f(x0)+Δy,函数就有了一个新的表述方式。
回头用“增量”语言说连续,则“函数在点x0连续”等价于“Δx趋于0时,相应的函数增量Δy一定趋于0”
理解2要是以产量为自变量x,生产成本为函数y,则Δy/Δx表示,在已经生产x0件产品的状态下,再生产一件产品的平均成本。导数则是点x0处的“边际成本”。
(画外音:“生产”过程中诸元素的磨合,自然会导致成本变化。)
如果用百分比来描述增量,则(Δy/y)/(Δx/x)表示,在x0状态下,自变量变化一个百分点,函数值平均变化多少个百分点。如果Δx趋于零时极限存在,称其(绝对值)为y对x的弹性。
理解3如果函数f在区间的每一点处可导,就称f在此区间上可导。这时,区间上的点与导数值的对应关系构成一个新的函数。称为f的导函数。简称导数。函数概念由此得到深化。
用定义算得各个基本初等函数的导数,称为“求导公式”。添上“和