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第一节圆的基本概念
:(圆心,半径为)
例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径
(1)x2+(y+3)2=2;(2)(x+2)2+(y–1)2=a2(a≠0)
例2圆心在直线x–2y–3=0上,且过A(2,–3),B(–2,–5),求圆的方程.
例3已知三点A(3,2),B(5,–3),C(–1,3),以P(2,–1)为圆心作一个圆,使A、B、C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.
:(其中),圆心为点,半径
(Ⅰ)当时,方程表示一个点,这个点的坐标为
(Ⅱ)当时,方程不表示任何图形。
例1:已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,求k的取值范围。
解:方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,
∴,解得
∴当时,方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。
例2:若(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆,则m的值是___。
答案:-3
例3:求经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圆的方程。
解:设所求圆的方程为,
A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)三点在圆上,代入圆的方程并化简,得
,解得D=-7,E=-3,F=2
∴所求圆的方程为。
例4:若实数满足,则的最大值是__________。
解:由,得
∴点P(x,y)在以(-2,1)为圆心,半径r=3的圆C上,
,
∴原点到圆上的点P(x,y)之间的最大距离为|OC|+r=+3
∴的最大值为。
:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0。
②没有xy这样的二次项。
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,只要求出这三个系数,圆的方程就确定了。
(3)与圆的标准方程相比较,代数特征明显,而圆的标准方程几何特征较明显。
如果是圆,一定有(1)A=C0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0。反之,也成立。
例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。
例2:方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时,m的取值范围是(D)
例3:如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时圆心坐标为()
A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(0,-1)
例4:圆的圆心坐标为,半径为.
例5:方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆。
1:求实数m的范围。
2:求该圆半径r的范围。
3:求圆心C的轨迹的普通方程。
解:(1)方程表示圆的充要条件是,即:
4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0,
解之得-<m<1.
(2),得到r的取值范围
(3)设圆心为(x,y),
则
消去m得:y=4(x-3)2-1,
∵-<m<1,
∴<x<4,
即轨迹为:y=4(x-3)2-1(<x<4)。
例6:已知实数满足等式,求的最值。
第二节点与圆的关系
(1)>,点在圆外
(2)=,点在圆上
(3)<,点在圆内
例1:的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程。
解析:用待定系数法确定三个参数。
例2:已知圆经过点和,且圆心在上,求圆的标准方程。
解析:圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等,所以圆心在AB的垂直平分线m上,又圆心在直线上,因此圆心是直线与直线m的交点,半径长等于或。
例3:写出圆心为半径长等于5的圆的方程,并判断点是否在这个圆上。
:圆的对称性问题可以转化为原点的对称性,而圆的半径r相等。
例1:求x2+y2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程
解析:圆方程可以转化为(x+2)2+(y-6)2=1,圆心O(-2,6),半径为1。设圆心关于直线的对称点O'(a,b),OO'和直线3x-4y-5=0对称,因此有:
解得
所求圆的方程为。
方法一:代入转移求轨迹方程
如:
方法二:参数法求轨迹方程
方法三:充分利用韦达定理
如:设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足·=0,求直线PQ的方程。
解:曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,
∴圆心(-1,3)=-1。
∵直线PQ与直线y=x+4垂直,
∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.
将直线y=-x+b代入圆方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.
Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得2-3<b<2+3。
由韦达定理得x1+x2=-(4-b),x1·x2=。
y1·y2=b2-b(x1+x2)+x1·x2=+4b.
∵·=0,∴x1x2+y1y2=0,
即b2-6b+1+4b=0.
解得b=1∈(2-3,2+3)。
∴所求的直线方程为y=-x+1。
形如的最值问题,转化为动直线斜率的问题;
形如m=ax+by的最值问题,转化为动直线截距的最值问题;
形如m=(x-a)2+(y-b)2最值问题,转化为两点间距离的平方最值问题。
如:已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点。
求P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值;
求x-2y的最大值和最小值;
求的最大值和最小值。
解:(1)圆心C(-2,0)到到直线3x+4y+12=0的距离为:
∴所以P到直线距离的最大值为d+r=+1=,最小值为d-r=-1=。
设t=x-2y,
∵直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点
∴圆心到直线的距离小于等于半径
设,则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点
∴圆心到直线的距离小于等于半径