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班级姓名
第一单元分数乘法
(一)、分数乘法的意义。
1、分数乘整数:分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和得简便运算。
例如:×6,表示:6个相加是多少,还表示的6倍是多少。
2、一个数(小数、分数、整数)乘分数:一个数乘分数的意义与整数乘法的意义不相同,是表示这个数的几分之几是多少。
例如:6×,表示:6的是多少。
×,表示:的是多少。
(二)、分数乘法的计算法则:
1、整数和分数相乘:整数和分子相乘的积作分子,分母不变。
2、分数和分数相乘:分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
3、注意:能约分的先约分,然后再乘,得数必须是最简分数。当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
(三)、分数大小的比较:
1、一个数(0除外)乘以一个真分数,所得的积小于它本身。一个数(0除外)乘以一个假分数,所得的积等于或大于它本身。一个数(0除外)乘以一个带分数,所得的积大于它本身。
2、如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等,那么与大分数相乘的因数反而小,与小分数相乘的因数反而大。
(四)、解决实际问题。
1分数应用题一般解题步行骤。
(1)找出含有分率的关键句。
(2)找出单位“1”的量
(3)根据线段图写出等量关系式:单位“1”的量×对应分率=对应量。
(4)根据已知条件和问题列式解答。
。
(1)乘法应用题的解题思路:已知一个数,求这个数的几分之几是多少?
(2)找单位“1”的方法:从含有分数的关键句中找,注意“的”前“比”后的规则。当句子中的单位“1”不明显时,把原来的量看做单位“1”。
(3)甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分之几,甲比乙少几分之几表示甲比乙少数占乙的几分之几。
(4)在应用题中如:小湖村去年水稻的亩产量是750千克,今年水稻的亩产量是800千克,增产几分之几?题目中的“增产”是多的意思,那么谁比谁多,应该是“多比少多”,“多”的是指800千克,“少”的是指750千克,即800千克比750千克多几分之几,结合应用题的表达方式,可以补充为“今年水稻的亩产量比去年水稻的亩产量多几分之几?”
(5)“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思,“减少”、“下降”、“裁员”等蕴含“少”的意思,“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。
(6)当关键句中的单位“1”不明显时,要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲比乙多几分之几”、“甲比乙少几分之几”的形式。
(7)乘法应用题中,单位“1”是已知的。
(8)单位“1”不同的两个分率不能相加减,加减属相差比,始终遵循“凡是比较,单位一致”的规则。
(9).找到单位“1”后,分析问题,已知单位“1”用乘法,未知单位“1”用除法(注意:求单位“1”是最后一步用除法,其余计算应在前)。单位“1”×分率=比较量;比较量÷分率=单位“1”
(10).单位“1”不同的两个分率不能相加减,解应用题时应把题中的不变量做为单位“1”,统一分率的单位“1”,然后再相加减。
(11).单位“1”的特点:①单位“1”为分母;②单位“1”为不变量。
(12)分率与量要对应。
①多的对应量对多的分率;
②少的对应量对少的分率;
③增加的对应量对增加的分率;
④减少的对应量对减少的分率;
⑤提高的对应量对提高的分率;
⑥降低的对应量对降低的分率;
⑦工作总量的对应量对工作总量的分率; 
⑧工作效率的对应量对工作效率的分率;
⑨部分的对应量对部分的分率;
⑩总量的对应量对总量的分率;
例如:1、求一个数的几分之几是多少?(求一个数的几分之几用乘法计算)
方法:单位“1”的数量×对应分率=对应数量。
2、分数的连乘。找到每一个分率的单位“1”。
(五)、倒数
1、倒数:乘积是1的两个数互为倒数。
2、求倒数的方法:把这个数写成分数形式,然后将分子和分母交换位置。
3、0没有倒数,1的倒数是它本身。
4、真分数的倒数都大于它本身,假分数的倒数等于或小于它本身。
注意:倒数必须是成对的两个数,单独的一个数不能称做倒数。
(一)分数乘法意义:
1、分数乘整数的意义:(与整数乘法的意义相同)就是求几个相同加数的和的简便运算。◆“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数,不能是分数。
例如:×7表示:求7个的和是多少?或表示:的7倍是多少?
2、一个数乘分数的意义:就是求一个数的几分之几是多少。
◆“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数,不能是整数。第一个因数是什么都可以。例如:×表示:求的是多少?A×表示:求A的是多少?
(二)分数乘法计算法则:
1、分数乘整数的运算法则是:分子与整数相乘,分母不变。
2、分数乘分数的运算法则是:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
◆为了计算简便,能约分的先约分再计算。
3、分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。
(三)积与因数的关系:
1、一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。a×b=c,当b>1时,c>a.
2、一个数(0除外)乘小于1的数,积小于这个数。a×b=c,当b<1时,c<a(b≠0).
3、一个数(0除外)乘等于1的数,积等于这个数。a×b=c,当b=1时,c=a.
◆在进行因数与积的大小比较时,要注意因数为0时的特殊情况。
(四)分数混合运算
1、分数合运算顺序:(与整数相同),先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:a×(b±c)=a×b±a×c
(五)分数乘法应用题——用分数乘法解决问题
◆已知单位“1”的量,求它的几分之几是多少,用单位“1”的量与分数相乘。
1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法)
例如:求25的是多少?列式:25×=15
甲数的等于乙数,已知甲数是25,求乙数是多少?列式:25×=15
2、求比一个数多(少)几分之几的数是多少?
例如:甲数比乙数多(少),乙数是25,求甲数是多少?
甲数=乙数+乙数×即25+25×=25×(1+)=40(或10)
◆巧找单位“1”的量:“的”前“比”后,“的”字相当于“×”,“是”字相当于“=”
3、求甲比乙多(少)几分之几?
相差数÷单位“1”
多:(甲-乙)÷乙
少:(乙-甲)÷乙
第二单元位置与方向
一、确定物体位置的方法:
1、先找观测点;
2、再定方向(看方向夹角的度数);
3、最后确定距离(看比例尺)
二、描绘路线图的关键是选好观测点,建立方向标,确定方向和路程。
三、位置关系的相对性:
两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时,观测点不同,叙述的方向正好相反,而度数和距离正好相等。
四、相对位置:东--西;南--北;南偏东--北偏西。
1、确定位置的条件:
当观测点(中心)确定以后,确定物体位置是条件是(方向)和(距离)。
2、在平面图上标出物体位置的方法:
先确定(中心或观测点),然后确定(方向),再以图例选定的单位长度为基准来确定(距离);最后在具体位置标出(名称)。
3、描述并绘制简单的路线图:
先按路线确定每一个观测点,然后以每一个观测点建立(方向标),描述到下一个目的地的(方向)和(距离)。
4、位置关系的相对性;
(1)描述物体的位置与(观测点)有关系,观测点不同,物体位置的描述就(不同)。
(2)两地的位置具有(相对性),观测点不同,叙述的(方向)正好相反,(角度)和(距离)不变。
第三单元分数除法
(一)、分数除法的意义:
分数除法的意义:分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
例如:  表示:已知两个数的积是,与其中一个因数,求另一个因数是多少。
÷4表示已知两个数的积是,与其中一个因数4,求另一个因数是多少。还表示把平均分成4份,每份是多少。
(二)、分数除法的计算:
分数除法的计算法则:甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
(三)比和比的应用:
:两个数相除又叫做两个数的比。比的后项不能为0。
:比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
:通常用分数、小数和整数表示。
:比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商.
:比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数的值。
:比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数(0除外),比值不变。
:根据比的基本性质,把两个数的比化成最简单的整数比,叫做化简比,比的前项和后项必须是互质的整数。
例如:(1)16﹕20=(16÷4)﹕(20÷4)=4﹕5
(2)﹕=(×12)﹕(×12)=10﹕9
(3)﹕=(×100)﹕(×100)=180﹕9=20﹕1
,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
:
(1)先求出总的份数,再求出各部分数量占总数的几分之几。
(2)用总数乘各部分的分率求出各部分的数量。
,被除数与商的大小关系:
一个数(0除外)除以一个真分数,所得的商大于它本身。
一个数(0除外)除以一个假分数,所得的商小于或等于它本身。
一个数(0除外)除以一个带分数,所得的商小于它本身。
(四)解分数应用题注意事项:
“1”的方法:从含有分率的句子中找,“的”前或“比”后的规则。当句子中的单位“1”不明显时,把原来的量看做单位“1”。
“1”后,分析问题,已知单位“1”用乘法,未知单位“1”用除法(注意:求单位“1”是最后一步用除法,其余计算应在前)。 
数量关系:单位“1”×对应分率=对应数量; 
对应量÷对应分率=单位“1”的量
“1”不同的两个分率不能相加减,解应用题时应把题中的不变量做为单位“1”,统一分率的单位“1”,然后再相加减。
“1”的特点: ①单位“1”为分母; ②单位“1”为不变量。
5.“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法:
(1)设单位“1”的量为x,列方程解答。
(2)对应数量÷对应分率=单位“1”的总数量。
:把工作总量看作单位“1”,
工作效率= 
工作时间=1÷工作效率  
合作时间 = 工作总量÷工作效率之和
(一)倒数
1、意义:乘积为1的两个数互为倒数。
◆倒数是两个数的关系,它们互相依存,不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数)
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是:两数相乘的积是否为“1”。
例如:a×b=1则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法:
①求分数的倒数:交换分子、分母的位置。(的倒数是)
②求整数的倒数:整数分之一。(非零整数a(a≠0),它的倒数为)
③求带分数的倒数:先化成假分数,再交换分子和分母的位置。
④求小数的倒数:先化成分数再求倒数。
4、特殊数的倒数:
①1的倒数是它本身,因为1×1=1
②0没有倒数,因为任何数乘0积都是0,且0不能作分母。
◆真分数的倒数是假分数,真分数的倒数大于1,也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
(二)分数除法
1、意义:(分数除法是分数乘法的逆运算),已知两个数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。或是求一个数中包含了几个另一个数。
2、计算法则:除以一个数(0除外),等于乘上这个数的倒数。
被除数÷除数=被除数×除数的倒数。例÷3=×=3÷=3×=5
◆除法转化成乘法时,被除数一定不能变,“÷”变成“×”,除数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
4、被除数与商的变化规律:
①除以大于1的数,商小于被除数:a÷b=c当b>1时,c<a(a≠0)
②除以小于1的数,商大于被除数:a÷b=c当b<1时,c>a(a≠0b≠0)
③除以等于1的数,商等于被除数:a÷b=c当b=1时,c=a
(三)分数混合运算:同整数。
(四)分数除法应用题
1、分数乘除法应用题的对比
①已知单位“1”的量用乘法。例:甲是乙的,乙是25,求甲是多少?
即:甲=乙×—→25×=15
②未知单位“1”的量用除法(或方程)。例:甲是乙的,甲是15,求乙是多少?
即:甲=乙×—→15÷=25(建议列方程答)x=25
2、分数应用题基本数量关系
(1)甲是乙的几分之几?
甲=乙×几分之几(例:甲是15的,求甲是多少?15×=9)
乙=甲÷几分之几(例:9是乙的,求乙是多少?9÷=15)
几分之几=甲÷乙(例:9是15的几分之几?9÷15=)
(2)甲比乙多(少)几分之几?
:差÷乙=(例:9比15少几分之几?(15-9)÷15===)
:先求甲是乙的几分之几,再与1相比。
①多几分之几是:-1(例:15比9多几分之几?15÷9=-1=-1=)
②少几分之几是:1-(例:9比15少几分之几?1-9÷15=1-=1-=)
(3)甲比乙多(少)几分之几,求乙是多少?
乙=甲÷(1+)
例:9比乙少,求乙是多少?9÷(1-)=9÷=15
例:15比乙多,求乙是多少?15÷(1+)=15÷=9
◆画线段图:
(1)找出单位“1”的量,先画出单位“1”,标出已知和未知。
(2)分析数量关系。
(3)找等量关系。
(4)列方程。
两个量的关系画两条线段图,部分和整体的关系画一条线段图。
第四单元比
1、两个数相除又叫做两个数的比。在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。:10=15÷10=3/2(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)
2、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。例:路程÷速度=时间。
3、区分比和比值
比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
4、比和除法、分数的联系与区别:(区别)除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。比的前项相当与除法中的被除数,分数中的分子;比的后项相当与除法中的除数,分数中的分母;比号相当于除法中的除号,分数中的分数线;比值相当于除法的商,分数的分数值。
注意:体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。根据比的基本性质,把比化成最简整数比。
:
(2)用求比值的方法。
注意:最后结果要写成比的形式。如:15∶10=15÷10=3/2=3∶:把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种方法通常叫做按比例分配.
(一)比的意义:两个数的比表示两个数相除。
1、比式中,比号(∶)前面的数叫比的前项,比号后面的项叫做比的后项,比号相当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。
◆连比如:3:4:5读作:3比4比5
2、比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数的形式,读作几比几。
后项
比值
比号
例:12∶20==12÷20==∶20读作:12比20
前项
3、区分比和比值:
(1)比值是一个数,通常用分数表示,也可以是整数、小数。
(2)比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写成分数的形式。
4、比和除法、分数的区别:
除法
被除数
除号
除数(不能为0)
商不变性质
是一种运算
分数
分子
分数线
分母(不能为0)
基本性质
是一个数
比
前项
比号
后项(不能为0)
基本性质
两个数的关系
(二)比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
(三)化简比:化简之后结果还是一个比,不是一个数。
1、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
2、方法:
(1)整数比:用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
(2)分数比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。
(3)小数比:向右移动小数点的位置,把小数比先化成整数比,再化简。
◆也可以先求出比的比值,再将结果写成比的形式。
(四)按比例分配:把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
例如:已知甲乙的和是56,甲、乙的比3∶5,求甲、乙分别是多少?
方法一:56÷(3+5)=7甲:3×7=21乙:5×7=35
方法二:甲:56×=21乙:56×=35
例如:已知甲是21,甲、乙的比3∶5,求乙是多少?
方法一:21÷3=7乙:5×7=35
方法二:甲乙的和21÷=56乙:56×=35
方法三:甲÷乙=乙=甲÷=21÷=35
第五单元圆
1、圆心:圆中心一点叫做圆心。用字母“O”来表示。
半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,用字母“r”来表示。
直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母“d”表示。
,半径确定圆的大小。
,所有的半径都相等,所有的直径都相等。在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。用字母表示为:d=2rr=d
:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
,这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时,。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
:C=d或C=2r
7、圆的面积:圆所占平面的大小叫圆的面积。
,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径,因为长方形面积=长×宽,所以圆的面积=r×r=r²
:S=r² 或者S=(d2)²
或者S=(C2)²
,圆的直径等于正方形的边长。圆的面积和正方形面积的比是:4。
在一个圆里画一个最大正方形的,圆的直径的长度等于正方形的对角线的长度,正方形的面积=对角线×对角线÷2=直径×直径÷2。
,圆的直径等于长方形的短边。
,外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=R²-r² 或 S=(R²-r²)。
(其中R=r+环的宽度.)
=外圆周长+内圆周长
。
半圆周长公式:C=d2+d 或C=r+2r
=圆面积2 公式为:S=r²2
,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例如:在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大4倍,而面积扩大16倍。
,而面积比等于以上比的平方。
例如:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,而面积比是4:9。
,它的周长就增加2a厘米;
当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加a厘米。
,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积就占圆面积的几分之几;所对的弧就占圆周长的几分之几.
,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小;
当长方形,正方形,圆的面积相等时,长方形的周长最大,圆的周长最小。
:L=
扇形的面积公式: S=r²(n为扇形的圆心角度数,r为扇形所在圆的半径)
:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是:长方形
有3条对称轴的图形是:等边三角形
有4条对称轴的图形是:正方形
有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。