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知识点一、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。如等。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点二、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)。这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y
0x
图像经过一、二、三象限,
y随x的增大而增大。
b<0
y
0x
图像经过一、三、四象限,
y随x的增大而增大。
k<0
b>0
y
0x
图像经过一、二、四象限,
y随x的增大而减小
b<0
y
0x
图像经过二、三、四象限,
y随x的增大而减小。
注:当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大,图像从左之右上升;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小,图像从左之右下降。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
(3)当b>0时,直线与y轴交点在y轴正半轴上
(4)当b<0时,直线与y轴交点在y轴负半轴上
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数关系式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点三、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地,函数(k是常数,k0)叫做反比例函数。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0,函数y0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例函数的性质
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像
y
Ox
y
Ox
性质
①x的取值范围是x0,
y的取值范围是y0;
②当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y
随x的增大而减小。
①x的取值范围是x0,
y的取值范围是y0;
②当k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,y随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
知识点四、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地,如果,特别注意a不为零,那么y叫做x的二次函数。叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征(也叫抛物线的三要素):
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线与坐标轴的交点:
4、二次函数解析式的表示方法
一般式:(,,为常数,);
顶点式:(,,为常数,);
两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
5、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0x
y
0x
性质
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;
(2)对称轴是x=,
顶点坐标是(,);
(3)在对称轴的左侧,即当x<时,
y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,
即当x>时,y随x的增大而增大,
简记左减右增;
(4)抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;
(2)对称轴是x=,
顶点坐标是(,);
(3)在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,
即当x>时,y随x的增大而
减小,简记左增右减;
(4)抛物线有最高点,当x=时,
y有最大值,
6、图象与轴的交点个数
当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次
方程的两根.
当时,图象与轴只有一个交点;
当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
记忆规律:一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当<0时,图像与x轴没有交点。