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数集的表示:实数集;有理数集;整数集;自然数集;复数集
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
若有限集合有个元素,则的子集有个,真子集有个,非空子集有个,非空真子
集有个。
“且”用∧表示,“或”用∨表示,“全称”用表示,“存在”用表示。
全称命题的否定是特称命题,即,的否定是,,反之亦可。
原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致。
,则是的充分条件;,则是的必要条件。
函数的定义域:①分母不为0,②偶次方根被开方数大于等于0,③对数的真数大于0,底数大于0且不
为1,④零次幂的底数不为0,⑤正切的角终边不在轴上。
函数的定义含有三要素,即定义域、对应关系、值域。当两个函数的三要素都分别相同时,这两个函数
才是同一个函数。
函数奇偶性的定义:①对于函数的定义域内的任意一个,都有,则为奇函数。
②对于函数的定义域内的任意一个,都有,则为偶函数。
函数奇偶性的性质:①奇、偶函数的定义域关于原点对称,②若奇函数的定义域包括0,则,
③奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称,④奇函数在其对称区间上的单调性相同,
而偶函数相反。
函数单调性的定义:若函数在区间内的,当时,①都有时,则
是区间上的增函数,②都有时,则是区间上的减函数。
周期函数的定义:对于函数存在非0常数,使得在其定义域内有,则
是以为周期的周期函数。
反函数的定义:一个函数中的与调换位置,即的反函数为,原函数的反函数图像关
于对称。
函数图像的对称性:若在定义域成立,则关于对称。
幂运算公式:①,②,③,且,
④,⑤,⑥,⑦
对数定义:若,那么叫做为底的对数,记作,其中称对数的
底,叫真数。当时称常用对数,记为;当无理数时,记为
对数运算公式:①;②;③;④;
⑤;⑥;⑦(换底公式)
:定义域为;值域为;恒过点
部分特征:当时,在上是增函数;当时,在上是减函数。
:定义域为;值域为;恒过点
部分特征:当时,在上是增函数;当时,在上是减函数。
:方程有实根的图象与轴有交点有零点;
函数零点的判断方法:若在上为单调函数,且有,则在有零点。
:①设函数在处附近有定义,当在处增加时,则也有相应的增
量,因此平均变化率为,当这个数无限接近于某个
常数时,就把这个常数称为函数在处的导数,即
。
:①(为常数);②;③;④;
⑤;⑥;⑦;⑧
导数运算法则:①;②
③;④
当在恒成立,则在上单调递增;当在恒成立,则在
上单调递减。
极值、最值的判断:①若在的左侧,右侧,则是极大值;②若在的左
侧,右侧,则是极小值。各极值的和定义域的函数值比较,其中最大的为
最大值,最小的为最小值。
:轴、曲线以及直线所围成的曲边梯形的面积。
:若,且在上可积,则
:①既有大小又有方向;②模为0的向量为零向量,模为1的向量为单位向量;③零向量与
任何向量平行(共线);④方向相同或相反的向量为平行(共线)向量;⑤长度相等且方向相同的向量为相
等向量;⑥两个非零向量与,它们的夹角为,则与的数量积为,规定零向
量与任何非零向量的数量积等于0;⑦向量在方向上的投影为
平面向量的坐标运算:若(两个向量的是非零向量),则①、、;;
②若,则;若,则;
③若与的夹角为,则
弧度制与角度制的转化:,
弧长公式:为圆心角的弧度数),扇形面积公式:
同角三角函数的关系:①;②
诱导公式:①、、;
②、、;
③、、;
④、、;
⑤、、、
两角和公式:①;②;
③
二倍角公式:①;②;
③
辅助角公式:(为辅助角)
函数可由的图象作如何变换得到:
①,将图象上所有点向左或向右平移个单位;
②,将图象上所有横坐标伸长或缩短到原来的倍;③,将图象上所有纵坐标伸长
或缩短到原来的倍。
三个常用三角函数的性质:
定义域
值域
最小正周期
对称中心
对称轴
无
递增区间
递减区间
无
正弦定理:为外接圆的半径)
余弦定理:①;②;③
俯角是视线在水平线下方的角;仰角是视线在水平线上方的角。
三角形面积公式:①是底、是高);
②
等差数列有关概念
定义:若数列满足为常数)
通项公式:,也可以写成
等差中项:若三数成等差,则为的等差中项,且有
性质:①若,则;②也成等差。
数列前项和:
等比数列有关概念
定义:若数列满足的常数)
通项公式:,也可以写成
等比中项:若三数成等比,则为的等比中项,且有
性质:①若,则;②也成等比。
数列前项和:①当时,;②当时,
与关系:(任何数列都可用)
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积公式:①直棱柱侧面积为底面周长,为高);②正棱锥侧
面积为底面周长,为斜高);③正棱台侧面积分别为上、下底面周
长,为斜高);④棱柱体积为底面积,为高);⑤棱锥体积为底面积,为
高);⑥棱台体积为上、下底面积,为高)
圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式:①圆棱柱侧面积为底面半径,为高);②圆锥侧
面积为底面半径,为母线长);③圆台侧面积为上、下底面半径,为
母线长);④圆柱体积为底面积,为高);⑤圆锥体积为底面积,为高);⑥
棱台体积为上、下底面积,为高)
球的表面积和体积公式:,为球的半径)
平面直观图--斜二测画法特点:①;②平行于轴的线段在直观图中平行于轴的线段;③平行于轴的线段在直观图中保持原长度,平行于轴的线段在直观图中为原长的一半。
直线与平面平行判定与性质定理(为线段,为点,为平面)
①判定定理:若,则;
②性质定理:若,则
平面与平面平行判定与性质定理:
①判定定理:若则;
②性质定理:若,则
直线与平面垂直判定与性质定理:
①判定定理:若,则;
②性质定理:若,则
平面与平面垂直判定与性质定理:
①判定定理:若,则;
②性质定理:若,则
空间向量的坐标运算:()
平面法向量的求法:设平面的法向量,在平面内任意找两个不共线的向量和,由
可得和,由此解得的关系式,按比例设数字可得到
点到平面的距离公式:设法向量为平面的法向量,点是平面外的一定点,点是平面内的
任意一点,则点到平面的距离
倾斜角:直线向上的方向与轴的正方向所成的最小正角,范围为;
斜率:过两点时,倾斜角不为,则斜率;当
时,倾斜角为,斜率不存在。
直线的截距:直线与轴的交点的横坐标为直线在轴上的截距;直线与轴的交点的纵坐标为直线在
轴上的截距。
直线方程的基本形式(由于有两种形式少用,就不写了)
①一般式:不全为0);
②点斜式:直线过点且斜率为,则直线方程为;
③斜截式:已知直线的斜率为且在轴上的截距为,则直线方程为
两直线平行、垂直的充要条件:若不重合的直线的斜率分别是,则;
中点坐标公式:若两点间的中点,则
两点间距离公式:若,则
点到直线距离公式:点到直线:的距离
两平行直线间距离公式:若直线,,则与间距离为
几种特殊的对称:①点关于轴对称的点为;②点关于轴对称的点为;
③点关于原点对称的点为;④点关于对称的点为;
④点关于对称的点为
圆的相关概念:
定义:平面内与定点(圆心)的距离(半径)恒定不变的点的集合(轨迹)。
标准方程:,其中圆心为,半径为
一般方程:,其中圆心为,半径为
:若点与圆心的距离为,半径为,则点在圆上;点在圆内;
点在圆外。
判定直线与圆的关系:①几何法:直线与圆心距离为,半径为,则相交;相切;
相离;②代数法:由直线方程与圆的方程联立,消元得到一元二次方程,则相交;
相切;相离
圆与圆之间的关系:若两圆的半径分别为,连心距为,则①外离4条公切线;
②外切3条公切线;③相交2条公切线;④内切1条公切线;⑤内含无公切线
椭圆的定义:①平面内与两定点的距离之和等于常数的点的轨迹,这两个定点
为椭圆的焦点,两焦点的距离为焦距;②与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离心率(常数)
的点的轨迹。
两种椭圆的相同点与不同点:
①不同点:当焦点在轴时,标准方程,范围,两焦点
,顶点;当焦点在轴时,标准方程,
范围,两焦点,顶点
②相同点:焦距,长轴长,短轴长,,离心率
双曲线的定义:①平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹,
这两个定点为双曲线的焦点,两焦点的距离为焦距;②与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离
心率(常数)的点的轨迹。
:
①不同点:当焦点在轴时,标准方程,范围或,两焦点
,顶点,渐近线方程;当焦点在轴时,标准方程
,范围,顶点,渐近线方程
②相同点:焦距,实轴长,虚轴长,,离心率
抛物线的定义:平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹,定点为抛物线的焦点,
定直线为准线。
四种不同的抛物线:
①标准方程,焦点,准线方程,范围,;
②标准方程,焦点,准线方程,范围,;
③标准方程,焦点,准线方程,范围,;
④标准方程,焦点,准线方程,范围,;
直线与圆锥曲线的位置关系判断方法:由直线方程与圆锥曲线的方程联立,消元得到一元二次方程,若
①,则有两个交点;②,则有一个交点;③,则无交点
统计图表:①频率分布表:反映总体频率分布的表格,表格主要有分组、频数、频率等三个项目;②频
率分布直方图:在直角坐标系中用横坐标表示数据的分组区间,纵坐标表示频率与组距的比值,小矩形
的面积表示相应分组的频率。
数字特征:①众数:在一组数据中出现得最多的数据;②中位数:把一组数据按大到小依次排列,处于
中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数);③平均数:一组数据的总和与数据个数的比值;④方
差:若一组数据为,平均数为,则方差为;
方差的算术平方根为标准差。
用样本数字特征估计总体的数字特征:①反映数据的集中趋势有中位数、众数、平均数;②反映数据的
离散程度有方差、标准差。
线性回归方程(是回归系数),公式为;
(为平均数)
计数原理:①加法原理:做一件事,完成它有类方法,在第一类办法有种不同方法,在第二类办
法有种不同方法,……在第类办法有种不同方法,则完成这件事有
种不同方法;②乘法原理:做一件事,完成它要个步骤,第一步有种不同方法,第二步有种
不同方法,……第步有种不同方法,则完成这件事有种不同方法。
排列:从个不同的元素中任取个元素,按一定顺序排成一列,用表示。
公式:(为的阶乘)
组合:从个不同的元素中任取个元素合成一组,用表示。
公式:
二项式定理:
①通项,它展开式有项
二项式系数的性质:①对称性:在展开式中,与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即
;②二项式系数先增后减,在中间取得最大值;③
事件的关系:①互斥事件:不能同时发生的两个事件;②对立事件:不能同时发生且必有一个发生的两
个事件;③对立事件一定是互斥事件,互斥时间不一定是对立事件。
若离散型随机变量的分布列为:
X1
X2
…
Xi
…
Xn
p
P1
P2
…
Pi
…
Pn
则①数学期望(均值);若,则;若服从两点分布,则;若,则;②方差;
它的算术平方根为标准差,用表示;若,则;若服从两点分布,则
;若,则
正态曲线函数:(为数学期望,为标准差)
性质:①曲线在轴上方,无限靠近轴;②曲线关于对称;③当时有最大值;
④在时递增,在时递减;⑤曲线与轴的面积为1;⑥当一定时,当越
小,曲线越瘦高,当越大,曲线越矮肥。
三个特殊区间的取值概率:;;
复数,其中是虚数单位,且,为实部,为虚部。
复数的分类:①当时,为实数;②当时,为虚数;③当时,为纯虚数;④当
时,为非纯虚数;⑤与互为共轭复数;⑥可以写成坐标形式,
复数坐标公式可参考上面的32.
复数的四则运算:若复数,复数,则
①;②;③;
④
极坐标为,和两个公式:,(为直角坐标系)
基本不等式:,当且仅当时取等号;运用基本不等式的三要素:一正,
二定,三相等。
绝对值不等式:
柯西不等式:,当且仅当、
、时,取等号。