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知识点一:椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
知识点二:椭圆的简单几何性质
椭圆:与的简单几何性质
标准方程
图形
性质
焦点
,
,
焦距
范围
,
,
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
,
,
轴长
长轴长=,短轴长=长半轴长=,短半轴长=(注意看清题目)
离心率
;;;
(p是椭圆上一点)(不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围)
注意:①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率等;②与坐标系有关的性质,如:顶点坐标、焦点坐标等
知识点三:椭圆相关计算
:过焦点且垂直于长轴的弦,其长
焦点弦:椭圆过焦点的弦。
:p是椭圆上一点,当p是椭圆的短轴端点时,为最大角。
。
焦点三角形的面积,其中(注意公式的推导)
(待定系数法).
(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上.
(2)设方程:
①依据上述判断设方程为=1或=1
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
(3)找关系,根据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组.
(4)解方程组,代入所设方程即为所求.
:
<1,点在椭圆内;=1,点在椭圆上;>1,点在椭圆外。
设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).
(1)Δ>0,直线与椭圆有两个公共点;
(2)Δ=0,直线与椭圆有一个公共点;
(3)Δ<0,直线与椭圆无公共点.
:(注意推导和理解)
若直线与圆锥曲线相交与、两点,则弦长
=
:
就是在求解圆锥曲线题目中,交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差。求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
步骤:①设直线和圆锥曲线交点为  ,  ,其中点坐标为  ,则得到关系式: ,  ..
②把  ,  分别代入圆锥曲线的解析式,并作差,
③利用  求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .
中点弦的重要结论(不要死记会推导)
(为参数)几何意义:离心角
11、椭圆切线的求法
1)切点()已知时,切线
切线
2)切线斜率k已知时,切线
切线
12、焦半径:椭圆上点到焦点的距离
(加减由长短决定)
(加减由长短决定)
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方
利用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理,常
知识点四:椭圆了解知识
椭圆面积:
椭圆的第二定义: