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易错点:a≠0和a=0方程两个根的取舍
知识点一
一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:
只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二
一元二次方程的一般形式:一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三
一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
——解一元二次方程
知识点一直接开平方法解一元二次方程
如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=,x2=.
直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
把常数项移到等号的右边;
方程两边都除以二次项系数;
方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;⑷若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
知识点一公式法解一元二次方程
一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
公式法解一元二次方程的具体步骤:
方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值
确定公式中a,b,c的值,注意符号;
求出b2-4ac的值;
④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根(有虚数根--高中学)。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,
即△=b2-4ac.
△>0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
根的
判别式
△=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
△<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
知识点一因式分解法解一元二次方程
把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法的详细步骤:
移项,将所有的项都移到左边,右边化为0;
把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;
令每一个因式分别为零,得到一元一次方程;
解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程
方法名称
理论依据
适用范围
直接开平方法
平方根的意义
形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
当ab=0,则a=0或b=0
一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=,,x1x2=
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:
审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
设:是指设元,也就是设出未知数。
列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
解:就是解方程,求出未知数的值。
验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
答:写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型
数字问题
三个连续整数:若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。
三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c.
增长率问题
设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低
后的等量关系为a(1)2=b。
(3)利润问题
利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总销
售量;③利润=成本×利润率
(4)图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数
式表示出来,建立一元二次方程。
一、相关概念及定义
1二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,.
二次函数的结构特征:
(1)等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
(2)是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数各种形式之间的变换
1二次函数用配方法可化成:的形式,其中.
2二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③;④;⑤.
三、二次函数解析式的表示方法
一般式:(,,为常数,);
顶点式:(,,为常数,);
两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,.
四、二次函数图象的画法
1五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
2画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
六、二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
七、二次函数的性质:
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
八、二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
九、抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
1的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
2对称轴:平行于轴(或重合),轴记作直线.
3顶点坐标:
,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
十、抛物线中,与函数图像的关系
1二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
总结:
3常数项
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
1公式法:,∴顶点是,对称轴是直线.
2配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
3运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
2顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
3交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.
十三、直线与抛物线的交点
1轴与抛物线得交点为(0,).
2与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
3抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
4平行于轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
5一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点.
6抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
2关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
3关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
关于原点对称后,得到的解析式是;
4关于顶点对称
关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.
5关于点对称
关于点对称后,得到的解析式是
总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式****惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十五、二次函数图象的平移
:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
。
(1)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(,0),B(,0),C(0,-3)三点,求抛物线的解析式。
(2)已知抛物线y=a(x-1)2+4,经过点A(2,3),求抛物线的解析式。
。
(1)已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A(2,1),求抛物线的解析式。
(1)已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。
。
(1)已知抛物线与x轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
(2)已知抛物线线与x轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
。
(1)在直角坐标系中,不论a取何值,抛物线经过x轴上一定点Q,直线经过点Q,求抛物线的解析式。
(2)抛物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。
抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。
。
(1)把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。
(2)抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
。
(1)抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。
(2)已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点,与轴交于C点,且AB=BC,求此抛物线的解析式。
。
(1)抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍,求抛物线的解析式。
(2)已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B(点A在点B左边)两点,交y轴于点C,且OB-OA=OC,求此抛物线的解析式。
。
(1)平行四边形ABCD对角线AC在x轴上,且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。AD交y轴于E,将三角形ABC沿x轴折叠,点B到B1的位置,求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
(2)求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式。
。
(1)已知直线y=ax-a2(a≠0)与抛物线y=mx2有唯一公共点,求抛物线的解析式。
(2)直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A(2,1),求抛物线的解析式。
。
(1)已知关于X的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。
(2)已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
23旋转
知识点一旋转的定义
在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二旋转的性质
旋转的特征:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前后的图形全等。
理解以下几点:
图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等。(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置。
知识点三利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质:(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(2)对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为:
①连:即连接图形中每一个关键点与旋转中心;
②转:即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)
③截:即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;
④接:即连接到所连接的各点。
知识点一中心对称的定义
中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。
注意以下几点:
中心对称指的是两个图形的位置关系;只有一个对称中心;绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来,即可得出成中心对称图形。
知识点三中心对称的性质
有以下几点:
关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分;
关于中心对称的两个图形能够互相重合,是全等形;
关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或共线)且相等。
知识点四中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
知识点五关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中,如果两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。
24圆
知识点一圆的定义
圆的定义:第一种:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。
第二种:圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。
知识点二圆的相关概念