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,写位置先定第几列,再写第几行,格式为:(列,行)。
第二单元分数乘法
,就是求几个相同加数的和的简便运算。
:分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。
(为了计算简便,能约分的要先约分,然后再乘。)
注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
,可以看作是求这个数的几分之几是多少。
:分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
(为了计算简便,可以先约分再乘。)
注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
、结合律和分配律,对分数乘法同样适用。
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=ac+bcac+bc=(a+b)×c
。
(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。1的倒数是1。0没有倒数。
真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
注意:倒数必须是成对的两个数,单独的一个数不能称做倒数。
(0除外)乘以一个真分数,所得的积小于它本身。
(0除外)乘以一个假分数,所得的积等于或大于它本身。
(0除外)乘以一个带分数,所得的积大于它本身。
。
(1)找出含有分率的关键句。
(2)找出单位“1”的量(以后称为“标准量”)找单位“1”:在分率句中分率的前面;或“是”、“占”、“比”、“相当于”的后面
(3)画出线段图,标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可,标准量与比较量不是整体与部分的关系画两条线段即可。
(4)根据线段图写出等量关系式:标准量×对应分率=比较量。求一个数的几倍:一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少:一个数×。
写数量关系式技巧:
(1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”
(2)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量
(3)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
(5)根据已知条件和问题列式解答。
。
(1)乘法应用题的解题思路:已知一个数,求这个数的几分之几是多少?单位“1”×对应分率=对应量
(2)找单位“1”的方法:从含有分数的关键句中找,注意“的”前“是、比、相当于、占、等于”后的规则。
(3)甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分之几,乙比甲少几分之几表示乙比甲少的数占甲的几分之几。
(甲-乙)÷乙=甲÷乙-1(甲-乙)÷甲=1-乙÷甲
(4)江氏规则:多比少多,少比多少。如8比5多,6比9少,在应用题中如:
小湖村去年水稻的亩产量是750千克,今年水稻的亩产量是800千克,增产几分之几?题目中的“增产”是多的意思,那么谁比谁多,应该是“多比少多”,“多”的是指800千克,“少”的是指750千克,即800千克比750千克多几分之几,结合应用题的表达方式,可以补充为“今年水稻的亩产量比去年水稻的亩产量多几分之几?”
(5)“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思,“减少”、“下降”、“裁员”等蕴含“少”的意思,“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。
(6)当关键句中的单位“1”不明显时,要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲比乙多几分之几”、“甲比乙少几分之几”的形式。
(7)乘法应用题中,单位“1”是已知的。
(8)单位“1”不同的两个分率不能相加减,加减属相差比,始终遵循“凡是比较,单位一致”的规则。
(9)分率与量要对应。
①多的比较量对多的分率;②少的比较量对少的分率;③增加的比较量对增加的分率;
④减少的比较量对减少的分率;⑤提高的比较量对提高的分率;⑥降低的比较量对降低的分率;
⑦工作总量的比较量对工作总量的分率;⑧工作效率的比较量对工作效率的分率;
⑨部分的比较量对部分的分率;⑩总量的比较量对总量的分率;
第三单元分数除法
:分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(0除外),等于分数乘这个整数的倒数。整数除以分数等于整数乘以这个分数的倒数。
:一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。
:甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。从应用的角度理解,比可以分为同类量比和不同类量比;同类量比表示倍数关系,比的前项和后项必须单位一致;不同类量比的结果产生新的量,比的前项和后项的单位不相同。
、小数和整数表示。
。
,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;
,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数的值。
:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
比的应用
1、比的第一种应用:已知两个或几个数量的和,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量是多少?
例如:六年级有60人,男女生的人数比是5:7,男女生各有多少人?
题目解析:60人就是男女生人数的和。
解题思路:第一步求每份:60÷(5+7)=5人
第二步求男女生:男生:5×5=25人女生:5×7=35人。
2、比的第二种应用:已知一个数量是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少?
例如:六年级有男生25人,男女生的比是5:7,求女生有多少人?全班共有多少人?
题目解析:“男生25人”就是其中的一个数量。
解题思路:第一步求每份:25÷5=5人
第二步求女生:女生:5×7=35人。全班:25+35=60人
3、比的第三种应用:已知两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量是多少?
例如:六年级的男生比女生多20人(或女生比男生少20人),男女生的比是7:5,男女生各有多少人?全班共有多少人?
4、要求量=已知量×
5、比在几何里的运用:
(1)已知长方形的周长,长和宽的比是a:b。求长和宽、面积。
长=周长÷2×宽=周长÷2× 面积=长×宽
(2)已知已知长方体的棱长和,长、宽、高的比是a:b:c。求长、宽、高、体积
长=周长÷4×宽=周长÷4×
高=周长÷4× 体积=长×宽×高
(3)已知三角形三个角的比是a:b:c,求三个内角的度数。
三个角分别为:
180× 180× 180×
(4)已知三角形的周长,三条边的长度比是a:b:c,求三条边的长度。
三条边分别为:
周长× 周长× 周长×
(0除外)除以一个真分数,所得的商大于它本身。
(0除外)除以一个假分数,所得的商小于或等于它本身。
(0除外)除以一个带分数,所得的商小于它本身。
已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除法计算;对应量÷对应分率=单位“1”
四则混合运算
。在有一级运算和二级运算的计算中,要先算二级运算再算一级运算,即:先乘除后加减。在同级运算中,应按从左到右的顺序依次计算。
,可以应用运算定律使计算简便。
运算定律包括:加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律、乘法的分配律。
第四单元圆
:平面上的一种曲线图形。
,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。
:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
,半径确定圆的大小。
:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。
,所有的半径都相等,所有的直径都相等。
,有无数条半径,有无数条直径。
,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。用字母表示为:d=2r或r=
:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
,这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,它是一个无限不循环小数,用字母π表示。在计算时,取π≈。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
:C=πd或C=2πr
12、圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。
,然后把它们剪开,可以拼成一个近似长方形的图形,这个长方形的长相当于圆的周长的一半(=πr),长方形的宽相当于圆的半径(r),因此长方形的面积等于圆的面积,所以圆的面积是πr×r=πr2
圆的面积公式:S=πr2 或者S=π()2或者S=π(C÷π÷2)2
,圆的直径等于正方形的边长。
r2×2:πr2:(2r)2=2r2:πr2:4r2
S小正:S圆:S大正=2:π:4
,圆的直径等于长方形的宽。
,外圆的半径是R,内圆的半径是r(其中R=r+环的宽度)
圆环的面积(铺小路的面积)=大圆的面积-小圆的面积=πR2-πr2=π(R2-r2)
环形的周长=外圆周长+内圆周长
。半圆的周长公式:C=πd÷2+d 或 C=πr+2r
=圆的面积÷2 公式为:S=πr2÷2
,半径扩大或缩小几倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数;面积则扩大或缩小对应数平方倍。
例如:在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大4倍,而面积扩大16倍。
,而面积比等于以上比的平方。
例如:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,而面积比是22:32=4:9。
,它的周长就增加2πa;当一个圆的直径增加a,它的周长就增加πa。
,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积占圆面积的几分之几;所对的弧占圆周长的几分之几。
、平行四边形、长方形、正方形和圆,它们的面积依次增大。
面积相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆,它们的周长依次减少。
:L=πd÷360×n扇形的面积公式:S=πr2÷360×n(n为扇形的圆心角度数)
轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的
这条直线叫做对称轴。
:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是:长方形
只有3条对称轴的图形是:等边三角形
只有4条对称轴的图形是:正方形;
只有5条对称轴的图形是:正五边形、五角星;
……
有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。
。
第五单元百分数
:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,所以百分数不能带单位。
百分数与分数的区别
(1)意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量。因此,百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或几份的数”。分数还可以表示两数之间的倍数关系.
(2)应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用。
(3)书写形式不同。百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”来表示。因此,不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分;百分数的分子可以是自然数,也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有:真分数、假分数、带分数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的要化成带分数。任何一个百分数都可以写成分母是100的分数,而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.
(4)百分数不能带单位名称;当分数表示具体数时可带单位名称。
百分数一般有三种情况:①100%以上,如:增长率、增产率等。②100%以下,如:发芽率、成长率等。③刚好100%,如:正确率,合格率等。
百分数只可以表示分率,而不能表示具体量,所以不能带单位。
:表示一个数是另一个数的百分之几。
例如:25%的意义:表示一个数是另一个数的25%。
,而在原来分子后面加上“%”来表示。分子部分可为小数、整数,可以大于100,小于100或等于100。
:
把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号;
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
:
把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽的保留三位小数),再把小数化成百分数;
把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
:
合格率=×100%发芽率=×100%出勤率=×100%
达标率=×100%成活率=×100%含盐率=×100%
小麦出粉率=×100%出油率=×100%……
:纳税是根据国家各种税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全。
:将纳税主要分为增值税、消费税、营业税、个人所得税等几类。
:缴纳的税款叫应纳税额。
:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
:应纳税额=各种收入×税率
:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。
:存款分为活期、整存整取、零存整取等方式。
:存入银行的钱叫做本金。
:取款时银行多支付的钱叫做利息。
,存款的利息要按一定的税率纳税。国债的利息不纳税。
:利息与本金的比值叫做利率。
:税后利息=本金×利率×时间×(1-税率)
=利息×税率 或 银行存款利息的税金=本金×利率×时间×税率
:利息=本金×利率×时间
:本金与利息的总和叫做本息。
打折:商店降价出售商品。
百分数应用题(一)
求增加百分之几?减少百分之几?
公式:增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例如:1、45立方厘米的水结成冰后,冰的体积为50立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?
解题思路:根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1,先确定单位1是水,已经知道是45:增加的部分不知道,可以利用50减45求得5;最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤:第一步:单位1:水:45立方厘米
第二步:增加的部分:50—45=5立方厘米
第三步:增加百分之几:5÷45=%
2、45立方厘米的水结成冰后,体积增加了5立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?
解题思路:根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1,先确定单位1是水,已经知道是45:增加的部分是5立方厘米;最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤:第一步:单位1:水:45立方厘米
第二步:增加的部分:5立方厘米
第三步:增加百分之几:5÷45=%
3、水结成冰后,体积增加了5立方厘米,冰的体积为50立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?
解题思路:根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1,先确定单位1是水,不知道但可以根据题目“水结成冰后,体积增加了5立方厘米”知道水是少的,冰是多的,所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米;;最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤:第一步:单位1:水:50—5=45立方厘米
第二步:增加的部分:5立方厘米
第三步:增加百分之几:5÷45=%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
百分数应用题(二)
比一个数增加百分之几的数,比一个数减少百分之几的数。
例如1、光明小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年增加了25%,今年有多少名学生?
解题思路:单位1去年已经知道用乘法,增加用(1+25%)
算式:80×(1+25%)
2、光明小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年减少了25%,今年有多少名学生?
解题思路:单位1去年已经知道用乘法,减少用(1-25%)
算式:80×(1-25%)
3、光明小学今年有100名学生,比去年增加了25%,去年有多少名学生?
解题思路:单位1去年不知道用除法,增加用(1+25%)
算式:100÷(1+25%)
4、光明小学今年有100名学生,比去年减少了25%,去年有多少名学生?
解题思路:单位1去年不知道用除法,增加用(1-25%)
算式:100÷(1-25%)
百分数应用题(三)列方程解百分数应用题
1、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,第一天比第二天多看20页,这本书一共有多少页?
解题思路:单位1一本书不知道,可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的,第二天是少的,第一天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式:第一天—第二天=20页
方法1:解:设这本书一共有X页。
由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%,用X可以表示为25%X,由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%,用X可以表示为20%“第一天—第二天=20页”可以列方程为:25%X—20%X=20
方法2:“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为:20÷(25%—20%)
2、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,两天共看了20页,这本书一共有多少页?
等量关系式:由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页。
方程法:解:设这本书共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X。
方程列为:25%X+20%X=20
算术法:由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和,要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为:20÷(25%+20%)
3、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,还剩20页,这本书一共有多少页?
等量关系式:一本书—第一天—第二天=20页
方程法:解设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X。
列方程为:X—25%X—20%X=20
算术法:20÷(1-25%X-20%)
4、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天比第一天多看10页,还剩20页,这本书一共有多少页?
方程法:解设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为(25%X+10)页。
列方程为:X—25%X—(25%X+10)=20
百分数应用题(四)利息的计算
:存入银行的钱叫做本金。
:取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
,存款的利息要按20%的税率纳税。国债的利息不纳税。10月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明,就不再计算利息税。
:利息与本金的比值叫做利率。
:税后利息=利息×(1-20%)
:利息=本金×利率×时间
:本金与利息的总和叫做本息。
:缴纳的税款叫应纳税额。
:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
:应纳税额=各种收入×税率
例如:李老师把2000元钱存入银行,整存整取五年,%计算,到期时,李老师的本金和利息共有多少元?
解题思路:要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤:第一步:根据“利息=本金×利率×时间”算利息
利息:2000×%×5=414元
第二步:本金+利息:2000+414=2414元。
例如:李老师把2000元钱存入银行,整存整取五年,%计算,到期时,李老师的本金和利息共有多少元?(如果利息按20%来上税)
解题思路:要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤:第一步:根据“利息=本金×利率×时间”算利息
利息:2000×%×5=414元
第二步:算税后利息:414×(1—20%)=
本金+利息:2000+=。
第六单元统计
一、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。
二、常用统计图的优点:
1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)
第七单元数学广角
一、“鸡兔同笼”问题的特点:
题目中有两个或两个以上的未知数,要求根据总数量,求出各未知数的单量。
二、“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、猜测法2、假设法(1)假如都是兔(2)假如都是鸡(3)古人“抬脚法”:3、列方程法