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【编者按】本章内容要求学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程,体会不等式(组)的特点和作用,掌握运用它们解决问题的一般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强创新精神和应用数学的意识。
二、知识概念
“<”“>”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
:不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成
了一个一元一次不等式组。
:用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,+2y≥2xy,sinx≤1,ex>0,2x<3,5x≠5等。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地,用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式。
主要的有:
①不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。
②如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,那么不等式F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。
③如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H(x)G(x)同解;如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。
④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解
不等式的性质:
①如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;(对称性)
②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法则)
④如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(乘法则)
⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z<y÷z。
⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n(充分不必要条件)
⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn
⑧如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)
选择题(本大题共12小题,每小题2分,共24分)
()
-9x≥x2+7x-+<+y>+x+9≥0
,列出不等式是()
-3≤-3≥-3<-3>1
,列出相应的不等式,其中错误的是()
:a+2>:a-3>2
:5(b+1)<0
:2b-3≥0
,在数轴上表示-1≤x<3正确的是()
,则下列结论正确的是()
>0B.-a≤>+1>0
,正确的有()
①若a<b,则a+1<b+1;②若a<b,则a-1<b-1;③若a<b,则-2a>-2b;
④若a<b,则2a>2b.
“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体,用天平比较它们质量的大小,两次情况如图所示,那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体,按质量从大到小的顺序排列为()
A.○□△B.○△□C.□○△D.△□○
>b的解集是x>,则a的取值范围是()
≥≤><0
>b,且c是有理数,则下列各式正确的是()
ac>bc②ac<bc③ac2>bc2④ac2≥bc2⑤>
-7≥4(x-1)的解集是()
≥≤≥-≤-3
>a,则a的取值范围是()
<=>≥3
①、②、③的解集在数轴上表示如图所示,则它们公共部分的解集是()
A.-1≤x<≤x<3C.-1≤x<
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
-2x<6的负整数解为.
>my,且x>y成立,则m0.
:①若a>b,则ac2>bc2;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,且c=d,则ac>bd;④若ac2>bc2,则a>(填序号).
,a,7,则a的取值范围是.
-9≤3(x+1)的解集是.
≤3x-7<5的整数解是.
,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞赛中,某同学获得优秀(90分或90分以上),则这位同学至少答对了道题.
>3,则a的取值范围是.
三、解答题(本大题共52分)
21.(本小题5分)x是什么值时,代数式5x+15的值不小于代数式4x-1的值?
22.(每小题3分,计12分)解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
⑴3(2x+5)>2(4x+3)⑵10-4(x-4)≤2(x-1)
26.(本小题5分)星期天,小华和7名同学共8人去郊游,途中,他用20元钱去买饮料,商店只有可乐和奶茶,已知可乐2元一杯,奶茶3元一杯,?每种方式可乐和奶茶各多少杯?
27.(本小题4分)先阅读,再练习.
⑴①如果a-b<0,那么a<b;
如果a-b=0,那么a=b;
如果a-b>0,那么a>b.
⑵由⑴中的结论你能归纳比较a,b大小的方法吗?请你用文字语言叙述出来.
⑶试用⑴中的方法比较3x2-2x+7与4x2-2x+7的大小.
不等式组的解集是
将下列数轴上的x的范围用不等式表示出来
的非正整数解为
4、a>b,则-2a-2b.
5、3X≤12的自然数解有个.
6、不等式x>-3的解集是 。
7、用代数式表示,比x的5倍大1的数不小于x的与4的差。
8、若(m-3)x<3-m解集为x>-1,则m.
9、三角形三边长分别为4,a,7,则a的取值范围是
10、某次个人象棋赛规定:赢一局得2分,平一局得0分,负一局得反扣1分。在12局比赛中,积分超过15分就可以晋升下一轮比赛,小王进入了下一轮比赛,而且在全部12轮比赛中,没有出现平局,问小王最多输 局比赛
二、选择题
11、在数轴上表示不等式≥-2的解集,正确的是( )
ABCD
12、下列叙述不正确的是( )
A、若x<0,则x2>x B、如果a<-1,则a>-a
C、若,则a>0 D、如果b>a>0,则
13、设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体,用天平比较它们质量的大小,两次情况如图所示,那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体,按质量从大到小的顺序排列为()
A、○□△B、○△□
C、□○△D、△□○
14、天平右盘中的每个砝码的质量都是1g,则物体A
的质量m(g)的取值范围,在数轴上可表示为( )
0
1
2
A
0
1
2
B
A
A
1
D
2
0
2
1
C
0
15、代数式1-m的值大于-1,又不大于3,则m的取值范围是( )
16、不等式的正整数解为()
17、不等式组的解集是()
18、如果关于x、y的方程组的解是负数,则a的取值范围是()
A.-4<a<><-
19、若关于x的不等式组的解集是x>2a,则a的取值范围是()
>>=≥2
20、若方程组中,若未知数x、y满足x+y>0,则m的取值范围是()
三、解答题
1、解下列不等式(或不等式组),并在数轴上表示解集。
(1)2x-3<6x+13;(2)2(5x-9)≤x+3(4-2x).
(3)(4)
2、在下列解题过程中有错,请在出错之处打个叉,并给予纠正。
解:
3、某城市一种出租汽车起步价是10元行驶路程在5km以内都需10元车费),达到或超过5km后,每增加1km,(不足1km,;不足1km部分按1km计)。现在某人乘这种出租车从甲地到乙地,,则从甲地到乙地路程大约是多少?
参考答案:
一、;;;;;;;;;;;;
二、13.-2,-1;>0;15.④;<a<11;≤6;;;≥3;
三、≥16;22.①x≤-,②x≥,③x>1,④x≤;
23.①x>1,②1≤x≤3,③-4<x<,④0<x<1;
-2<x≤1,整数解为-1,0,1;
25.<k<;
:设购买可乐x杯,奶茶y杯
则2x+3y=20
整数解为:,,
∴,二种是购买4杯可乐和4杯奶茶,三种是购买7杯可乐和2杯奶茶.
27.⑵我们通常把两个要比较的对象数量化,再求它们的差,根据差的正负判断对象的大小.
⑶(3x2-2x+7)-(4x2-2x+7)=-x2≤0
∴3x2-2x+7≤4x2-2x+7.