文档介绍：该【三角函数(知识点同步 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【20】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【三角函数(知识点同步 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第四章:三角函数
第一部分:角的概念的推广
教学目标:
理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度与角度的换算。
一、知识点回顾:
角:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
始边:起始位置的射线;终边:终止位置的射线;顶点:始边和终边的共同端点。
角的分类:(1)正角:逆时针方向旋转;(2)零角:不旋转;
(3)负角:顺时针方向旋转。
直角坐标系中讨论角:
(1)顶点是原点;(2)始边是横轴正半轴及原点。
4、象限角:若角的顶点是原点,始边是横轴的非负半轴,则角的终边在哪一象限,就是哪一象限角。
5、轴线角:若角的顶点是原点,始边是横轴的非负半轴,并且角的终边在坐标轴上,则此角叫做轴线角。
6、终边与角α重合的所有角连同角α一起,可以表示成集合:
S=。
例1、已知角α是第三象限角,则是(D)。
A、第一象限角;B、第三象限角;
C、第四象限角;D、第一、第三或第四象限角;
解:∵角α是第三象限角,∴180o+k360o<α<270o+k360o,k∈Z。
60o+360o<<90o+360o,k∈Z。
(1)当k=3m,m∈Z时,60o+m360o<<90o+m360o,m∈Z。是第一象限角。
(2)当k=3m+1,m∈Z时,60o+360o<<90o+360o,k∈Z。即180o+m360o<<210o+m360o,m∈Z。是第三象限角。
(3))当k=3m+2,m∈Z时,60o+360o<<90o+360o,k∈Z。即300o+m360o<<330o+m360o,m∈Z。是第四象限角。
弧度制:
(1)1弧度的角:弧长等于半径的圆弧所对圆心角。
(2)弧度数:正角的弧度数是正数;负角的弧度数是负数;零角的弧度数是0。|α|=。
(3)弧长公式,扇形面积计算公式:l=|α|r,S扇=lr=|α|r2。
例2、若锐角α的终边与它的10倍角的终边相同,求α。
解:根据题意知:10α=k360o+α,k∈Z。且0o<α<90o。于是9α=k360o,α=k40o。0o<k40o<90o。解得k=1,或2。∴α=40o,或80o。
例3、如图,已知一点A(1,0),按逆时针方向做匀速圆周运动,1秒钟时间转过θ角,经过2秒钟点A在第三象限,经过14秒钟,与最初位置重合,求θ的弧度数。
解:∵0<θ≤π,∴0<2θ≤2π。∵经过2秒钟点A在第三象限,∴π<2θ≤。∵经过14秒钟,与最初位置重合,∴14θ=2nπ,n∈Z。
7π<2nπ≤,于是n=4,或5。当n=4时,θ=;当n=5时,θ=。
二、综合练****br/>x
y
π-α的终边
-α的终边
α的终边
若α是第四象限角,则π-α是第三象限角。
解:方法一:∵α是第四象限角,∴2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z
2kπ-2π<-α<2kπ-,k∈Z,2kπ-π<π-α<2kπ-
∴π-α是第三象限角。
方法二:利用图形。
2、若一圆弧长等于所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数的绝对值为(C)。
A、B、C、D、2
解:设内接正三角形的边长为a,a=R,∴α==。∴选C。
α和β的终边关于y轴对称,则必有(D)。
A、α+β=B、α+β=(2k+)πC、α+β=2kπD、α+β=(2k+1)π
若角α的终边和函数y=-|x|的图象重合,则α的集合是。
已知扇形的周长为30cm,当它的半径r和圆心角α各取什么值时,扇形的面积最大?最大面积是多少?
解:方法一:30=2r+l≥2,解得2rl≤=lr≤×2rl=。
取等号的条件:2r=l,解得r=,α=2。
方法二:30=2r+l,∴l=30-2r,S扇=lr=(30-2r)r=15r-r2。
当r=,S扇最大=,此时α=2。
在1时15分时,时针和分针所成的最小正角是多少弧度?
解:在1时时,时针和分针所成的角:;到1时15分时,分针转过的角:;时针转过的角:。
∴所求角:--=。
集合M=,N=,则(A)。
A、MNB、NMC、M=ND、M∩N=φ
解:方法一:M:,N:
∴MN,选A。
4
8
7
6
5
3
2
y
x
方法二:
1
3
4
x
2
y
1
o
y
o
x
P
MN
8、如图,半径为1的圆O上有两个动点M、N,同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动。M点按逆时针方向转动,速度为rad/s,N点按顺时针方向转动,速度为rad/s。试求他们出发后第三次相遇时的位置及各自走过的弧长。
解:t=6π,解得t=12秒。l1=×12×1=2π,L2=×12×1=4π。
答:他们出发后第三次相遇时的位置在点P,M走过的弧长为2π,M走过的弧长为4π。
9、如图,半径为1的圆O上有两个动点M、N,同时从点P(1,0)出发,沿圆周同向运动。M点速度为rad/s,N点速度为rad/s。试求他们出发后第三次相遇时的位置及各自走过的弧长。
解:t=6π,解得t=36秒。l1=×36×1=6π,L2=×36×1=12π。答:他们出发后第三次相遇时的位置在点P,M走过的弧长为6π,M走过的弧长为12π。
10、若角α的终边与的终边关于x轴对称,且-4π<α<-2π,那么α等于(C)。
A、-2π-B、-C、-2π-D、-2π-
解:α=2kπ+,k∈Z。∵-4π<α<-2π,∴k=-2。α=-4π+=-2π+-2π=-2π-。∴选C。
11、已知集合A=,B=,则=。
12、若扇形的圆心角是60,则此扇形的内切圆与扇形的面积之比为()。
A、1:2B、1:3C、2:3D、3:4
第二部分:任意角的三角函数
教学目标:
1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切;
2、了解任意角的余切、正割、余割的定义。
一、知识点回顾:
任意角的三角函数定义:设α是任意角,P(x,y)是其终边上任意一点,|OP|=r,则
(1)sinα=,α∈R,-1≤sinα≤1;(2)cosα=,α∈R,-1≤cosα≤1;(3)tanα=,α≠kπ+,tanα∈R,(3)cotα=,α≠kπ,cotα∈R;(5)secα=,(6)cscα=。
常用三角函数值:
函数值
角
sinα
cosα
tanα
cotα
0
0
1
0
不存在
1
1
1
0
不存在
0
例1、下列各式中,结果为正值的是(D)。
A、cos2-sin2B、cos2sin2C、sin2tan2D、tan2cos2
解:2弧度=2×57o=114o,为第二象限角,所以选D。
例2、一个半径为R扇形,它的周长是4R,则这个扇形所含弓形的面积是(D)。
A、(2-sin1cos1)R2B、sin1cos1R2C、R2D、(1-sin1cos1)R2
解:∵4R=l+2R,∴l=2R。|α|=2弧度。S弓=S扇-S△=LR-R2sin2
=R2-sin1cos1R2=(1-sin1cos1)R2。
二、综合练****br/>若角α的终边落在直线y=2x上,则sinα的值等于(C)。
A、B、C、D、
2、若三角形的两个内α、β角满足sinαcosβ<0,则此三角形的形状是(B)。
A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定
3、已知θ是第三象限角,且cos<0,则是(B)。
A、第一象限角或第二象限角;B、第二象限角;
C、第二象限角或第四象限角;D、第一象限角或第三象限角。
解:∵θ是第三象限角,∴2kπ+π<θ<2kπ+,k∈Z
∴kπ+<<kπ+。当k是偶数时,是第二象限角;
当k是奇数时,是第四象限角。∵cos<0,∴选B。
4、已知()sin2θ<1,则θ是(C)。
A、第一象限角或第二象限角B、第二象限角或第四象限角
C、第一象限角或第三象限角D、第二象限角或第三象限角
解:方法一:∵()sin2θ<1,∴sin2θ>0,2kπ<2θ<2kπ+π,kπ<θ<kπ+。
当k是偶数时,θ是第一象限角;当k是奇数时,θ是第三象限角。∴选C。
方法二:∵()sin2θ<1,∴sin2θ>0,2sinθcosθ>0。∴θ是第一象限角或第三象限角。
5、若函数f(x)的定义域是[0,1],则f(sinx)的定义域是。
解:∵sinx∈[0,1],∴2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z。
6、函数y=的定义域是。
7、若实数x满足log2x=2+sinθ,则y=|x+1|-|x-10|的值域是[-5,7]。
解:∵log2x=2+sinθ,∴x=22+sinθ。∵-1≤sinθ≤1,∴2≤22+sinθ≤8。
∴x∈[2,8]。y=|x+1|-|x-10|=x+1-10+x=2x-9,x∈[2,8]。∴y∈[-5,7]。
p
x
O
M
Q
y
N
若θ∈,求证:(1)sinθ<θ<tanθ。(2)sinθ+cosθ>1。
证明:(1)画单位圆如图,则弧NQ长等于θ>|MN|,而sinθ=|MN|。
∴sinθ<θ。∵S△POQ>S扇,得,θ<tanθ。∴sinθ<θ<tanθ。
(2)证法一:sinθ+cosθ=|MN|+|OM|>|ON|>1,∴sinθ+cosθ>1。
证法二:∵θ∈,∴sinθ>0,cosθ>0。
(sinθ+cosθ)2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ>1。∴sinθ+cosθ>1。
9、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是(C)。
A、2B、sin2C、D、2sin1
10、如果角θ满足条件,则θ是(B)。
A、第二象限角B、第二或第四象限角C、第四象限角D、第一或第三象限角
11、若θ∈,则sinθ+cosθ的一个可能值是(C)。
A、B、C、D、1
第三部分:同角三角函数基本关系式
教学目标:
掌握同角三角函数基本关系式。
一、知识点回顾:
1、倒数关系:sinαcscα=1,cosαsecα=1,tanαcotα=1。
2、商数关系:tanα=,cotα=。
3、平方关系:sin2α+cos2α=1,1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α。
例1、3sinα+4cosα=5,则tanα=。
解:∵3sinα+4cosα=5,∴9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25。
16sin2α-24sinαcosα+9cos2α=0,16tan2α-24tanα+9=0。解得tanα=。
例2、化简:+3sin2α。
解:原式=+3sin2α=3sin2α+3cos2α=3。
二、综合练****br/>1、已知1+sinθ+cosθ=0,则θ的取值范围是(C)。
A、第三象限角B、第四象限角
C、2kπ+π≤θ≤2kπ+,k∈ZD、2kπ+≤θ≤2kπ+2π
解:1+sinθ+cosθ=1+sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=0
∴sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=-1。∵sin2θ+cos2θ=1,∴sinθ≤0,cosθ≤0
∴2kπ+π≤θ≤2kπ+,k∈Z,∴选C。
2、已知α是三角形的一个内角,且sinα+cosα=,则这个三角形的形状是(B)。
A、锐角三角形B、钝角三角形
C、不等腰的直角三角形D、直角三角形
解:方法一:∵sinα+cosα=,sin2α+cos2α=1,
∴解得sinα=-cosα。代入sin2α+cos2α=1,得(-cosα)2+cos2α=1
解得cosα=。∵>,∴cosα=<0.
∴此三角形是钝角三角形,选B。
方法二:∵sinα+cosα=∴(sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α
=1+2sinαcosα=。∴2sinαcosα=-。∵sinα>0,∴cosα<0,
∴此三角形是钝角三角形,选B。
3、已知0<α<,且lg(1+cosα)=m,lg=n,则lgsinα等于(D)。
A、m+B、m-nC、(m+)D、(m-n)
解:lg=lg(1-cosα)-1=-lg(1-cosα)=n,∴lg(1-cosα)=-n
∴lg(1+cosα)+lg(1-cosα)=lg(1-cos2α)=lgsin2α=2lgsinα=m-n
lgsinα=(m-n),所以选D。
4、化简(+)(1-cosα)的结果是(A)。
A、sinαB、cosαC、1+sinαD、1+cosα
解:(+)(1-cosα)=(+)(1-cosα)
=(1-cosα)===sinα。所以选A。
5、若tanα和tanβ是关于x的方程x2-px+q=0的两根,cotα和cotβ是关于x的方程x2-rx+s=0的两根,则rs等于(C)。
A、pqB、C、D、
解:∵tanα和tanβ是关于x的方程x2-px+q=0的两根,∴tanαtanβ=q,
tanα+tanβ=p。∵cotα和cotβ是关于x的方程x2-rx+s=0的两根,
∴r=cotα+cotβ=+==。s=cotαcotβ=×==。∴rs=×=,∴所以选C。
6、已知α在第一象限,且=3+2,则cosα的值是(B)。
A、B、C、D、
解:由已知得tanα=,sec2α=,secα=,cosα==。
第四部分:诱导公式
教学目标:
掌握正弦、余弦的诱导公式。
一、知识点回顾:
公式一:终边相同的角同名三角函数值相等。
sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα
公式二:终边关于原点对称的两角的同名三角函数值的关系。
sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα
公式三:终边关于x轴对称的两角的同名三角函数值的关系。
sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα
公式四:终边关于y轴对称的两角的同名三角函数值的关系。
sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα
公式五:
sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα
公式六:余角公式:
sin(-α)=cosαcos(-α)=sinα
tan(-α)=cotαcot(-α)=tanα
公式七:
sin(+α)=cosαcos(+α)=-sinα
tan(+α)=-cotαcot(+α)=-tanα
公式八:
sin(-α)=-cosαcos(-α)=-sinα
tan(-α)=cotαcot(-α)=tanα
公式九:
sin(+α)=-cosαcos(+α)=sinα
tan(+α)=-cotαcot(+α)=-tanα
例1、若f(cosx)=cos3x,则满足f(sinx)=1的x=。
解:∵f(cosx)=cos3x,∴f(sinx)==
==-=-sin3x=1。∴3x=2kπ+,k,x=。
练****br/>函数f(x)满足f(cosx)=(0≤x≤π),则=。
例2、已知=m,(|m|≤1),求的值。
解:=
=-=-=-=-m2。
二、综合练****br/>计算:
(1),答案:1。
(2),答案:-cscα。
(3)sin(α+180o)cos(-α)sin(-α-180o),答案:-sin2αcosα。
(4)sin(-1071o)sin99o+sin(-171o)sin(-261o),答案:0。
2、函数y=cos(tanx)(B)。
A、是奇函数,但不是偶函数;B、是偶函数,但不是偶函数;
C、不是奇函数,也不是偶函数;D、奇偶性无法确定
3、已知函数f(x)=asinx+btanx+1满足f(5)=7,则f(-5)的值等于(B)。
A、5B、-5C、6D、-6
解:∵f(x)=asinx+btanx+1,∴f(x)-1=asinx+btanx
f(5)-1=asin5+btan5,f(-5)-1=asin(-5)+btan(-5)=-(asin5+btan5)
∵f(5)=7,∴asin5+btan5=6,∴f(-5)=-6+1=-5。
4、已知函数f(x)满足f(cosx)=,(0≤x≤π)则f(-)的值等于(B)。
A、cosB、C、D、
解:∵f(cosx)=,(0≤x≤π),∴f(-)=f(cos)=×=。
5、已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满足f(1997)=-1,则f(1998)等于()。
A、-1B、0C、1D、2
解:∵f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),
∴f(1997)=asin(1997π+α)+bcos(1997π+β)
=asin(π+α)+bcos(π+β)=-(asinα+bcosβ)=-1,
f(1998)=asin(1998π+α)+bcos(1998π+β)=asinα+bcosβ=1。
6、化简与证明:
(1)求证:sin21o+sin22o+sin23o+…+sin289o=。
证明:sin21o+sin22o+sin23o+…+sin289o
=(sin21o+sin289o)+(sin22o+sin288o)+…+(sin244o+sin246o)+sin245o
=
(2)化简:tan1otan2otan3o…tan88otan89o=1.
(3)化简:tan+tan+tan+tan=0。
第五部分:两角和与差的三角函数
教学目标:
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。
一、知识点回顾:
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
tan(α+β)=;tan(α-β)=。
二、例题讲解:
求以下三角函数值:sin15o,cos15o,tan15o,cot15o。
解:sin15o=sin(45o-30o)=sin45ocos30o-cos45osin30o=×-×=。
cos15o=cos(45o-30o)=cos45ocos30o-sin45osin30o=×+×=。
tan15o====2-。cot15o===2+。
例2、已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,α+β∈(,2π),α-β∈(,π),求cos2α。
解:∵cos(α+β)=,α+β∈(,2π),∴sin(α+β)=。
∵cos(α-β)=,α-β∈(,π),∴sin(α-β)=。
cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×()-(×)=。
例3、求值:。
解:===2cos30o=。
例4、求tan65o+tan70o+1-tan65otan70o的值。
解:tan65o+tan70o+1-tan65otan70o=tan(65o+70o)(1-tan65otan70o)+1-tan65otan70o
=-(1-tan65otan70o)+1-tan65otan70o=0。
例4、合一变形:asinx+bcosx=(sinx+cosx)
=sin(x+φ)。其中sinφ=,cosφ=。
求函数f(x)=sinx-cosx的值域。
解:f(x)=sinx-cosx=2(sinx-cosx)=2sin(x-)。
∴f(x)∈[-2,2]。
练****已知θ为锐角,则下列选项提供的各值中可能为sinθ+cosθ的是(A)。
A、B、C、D、
三、综合练****br/>1、已知cosx+cosy=,sinx-siny=,则cos(x+y)=。
解:∵cosx+cosy=,∴cos2x+2cosxcosy+cos2y=。
∵sinx-siny=,∴sin2x-2sinxsiny+sin2y=。
2+2(cosxcosy-sinxsiny)=+,∴cos(x+y)=。
2、已知sinαsinβ=1,则cos(α+β)=(A)。
A、-1B、0C、1D、±1
解:∵sinαsinβ=1,∴sinα=sinβ=1,或sinα=sinβ=-1
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-1。
3、已知8cos(2α+β)+5cosβ=0,求tan(α+β)tanα的值。
解:8cos(2α+β)+5cosβ=8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]
=8cos(α+β)cosα-8sin(α+β)sinα+5cos(α+β)cosα+5sin(α+β)sinα
=13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα,∵8cos(2α+β)+cosβ=0,
∴13cos(α+β)cosα=3sin(α+β)sinα,∴tan(α+β)tanα=。
4、若sinα+sinβ=,则cosα+cosβ的取值范围是()。
A、[0,]B、[-,]C、[-2,2]D、、[-,]
解:(cosα+cosβ)2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β(sinα+sinβ)2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=
设(cosα+cosβ)2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=x,2+2cos(α-β)=x+,∴x=+2cos(α-β)≤,
∴-≤cosα+cosβ≤。
5、求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域。
解:设t=sinx+cosx,则t2=1+2sinxcosx,∴sinxcosx=(t2-1)。