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集合与命题
(1)集合的概念
常把能够确切指定的一些对象看作一个整体,这个整体就叫做集合.
(2)集合中的元素
集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(3)集合与元素间的关系
对象与集合的关系是,或者,两者必居其一.
(4)集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
③描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
(5)集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.
②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集().
(6)常用数集及其记法
表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集.
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
(或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且,则
(4)若且,则
或
真子集
AB
(或BA)
,且B中至少有一元素不属于A
(1)(A为非空子集)
(2)若且,则
集合
相等
A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA
重要结论:已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它个非空子集,它有非空真子集.
交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
且
(1)
(2)
(3)
并集
或
(1)
(2)
(3)
补集
(1)命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.“若,则”形式的命题中的称为命题的条件,称为命题的结论.
(2)逆命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,,另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若,则”,它的逆命题为“若,则”.
(3)否命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,,“若,则”,则它的否命题为“若,则”.
(4)逆否命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若,则”,则它的否命题为“若,则”。
充分条件、必要条件、充要条件
如果,那么P是Q的充分条件,Q是P的必要条件。
如果,那么P是Q的充要条件。也就是说,命题P与命题Q是等价命题。
命题的非运算
命题的且运算
命题的或运算
不等式
如果
如果
如果
如果
如果
如果,那么
如果,那么.
如果,那么
这个知识点很重要,可根据与0的关系来求解,注意解的区间的表示,不等式组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整式不等式。
求一元二次不等式解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数.
二判:判断对应方程的根.
三求:求对应方程的根.
四画:画出对应函数的图象.
五解集:根据图象写出不等式的解集.
规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
区间的概念及表示法
设是两个实数,且,满足的实数的集合叫做闭区间,记做;满足的实数的集合叫做开区间,记做;满足,或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别记做,;满足的实数的集合分别记做.
注意:对于集合与区间,前者可以大于或等于,而后者必须
,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立).
(1)分式不等式的解法
先移项通分标准化,则
(时同理)
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
(2)含绝对值不等式的解法
不等式
解集
或
把看成一个整体,化成,型不等式来求解
两个基本不等式:。,当且仅当时等号成立。我们把分别叫做正数的算术平均数和几何平均数。
(3)无理不等式的解法
方法:将无理不等式转化为有理不等式求解,
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
(4)高次不等式的解法
方法:穿根法
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.
,(当且仅当时取号).
,(当且仅当时取到等号).
用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;
其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法:
①舍去或加上一些项,如
②将分子或分母放大(缩小),如
在某个变化过程中有两个变量,如果对于在某个实数集合D内的每一个确定的值,按照某个对应法则,都有唯一确定的实数值与它对应,那么就是的函数.
记作:是自变量D是定义域与对应的值叫做函数值
函数值的集合是值域
函数的三要素:定义域、值域和对应法则.
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.
解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
函数的和:
(1)函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性质
定义
图象
判定方法
函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.
(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)
(2)利用图象(图象关于原点对称)
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.
(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)
(2)利用图象(图象关于y轴对称)
②若函数为奇函数,且在处有定义,则.
(2)函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性质
定义
图象
判定方法
函数的
单调性
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
(1)利用定义
(2)利用已知函数的单调性
(3)利用函数图象(在某个区间图
象上升为增)
(4)利用复合函数
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
(1)利用定义
(2)利用已知函数的单调性
(3)利用函数图象(在某个区间图
象下降为减)
(4)利用复合函数
②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
(3)函数的最值
①一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
(1)对于任意的,都有;
(2)存在,,我们称是函数的最大值,记作.
②一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
对于任意的,都有;
(2)存在,,我们称是函数的最小值,记作.
(4)函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法:
求函数的零点:
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的
幂函数、指数函数和对数函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数叫做幂函数,其中为自变量,是常数.
幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,,图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
②过定点:所有的幂函数在都有定义,并且图象都通过点.
③单调性:如果,则幂函数的图象过原点,,则幂函数的图象在上为减函数,在第一象限内,图象无限接近轴与轴.
④奇偶性:
当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点,即当时,.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对 图象的影响
在第一象限内,越大图象越高;在第二象限内,越大图象越低.(趋势)
对数的定义
①若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:.
(2)几个重要的对数恒等式
,,.
(3)常用对数与自然对数
常用对数:,即;自然对数:,即(其中…).
(4)对数的运算性质如果,那么
①加法:②减法:
③数乘:④
⑤⑥换底公式:
(1)反函数的概念
设函数的定义域为,值域为,从式子中解出,,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子表示是的函数,函数叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成.
(2)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;
②从原函数式中反解出;
③将改写成,并注明反函数的定义域.
反函数的性质:
①原函数与反函数的图象关于直线对称.
②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
③若在原函数的图象上,则在反函数的图象上.
④一般地,函数要有反函数则它必须为单调函数.