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第一章丰富的图形世界
第1节生活中的立体图形
一、生活中常见的几何体
1、柱体:分为棱柱和圆柱
(1)棱柱
①相关概念(如图1-1-1所示)
A、底面:两个互相平行的平面叫做棱柱的底面。
B、侧面:两个底面之外的平面叫做棱柱的侧面。
C、棱:相邻两个面的交线叫做棱柱的棱。
D、侧棱:相邻两个侧面的交线叫做棱柱的侧棱。
E、顶点:侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
F、高:两个底面的距离叫做棱柱的高。
②分类
A、按侧棱是否与底面边垂直分为:直棱柱和斜棱柱。(如图1-1-2所示)
B、按底面图形的边数分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……(如图1-1-3所示),它们的底面图形的形状依次是三角形、四边形、五边形、六边形……
【说明】长方体和正方体都是四棱柱。
③性质
A、棱柱的上、下底面形状相同。
B、棱柱的侧面的形状都是平行四边形,直棱柱的侧面是长方形。
C、棱柱的侧棱都平行且相等,直棱柱的侧棱都平行且与高相等。
④元素间的关系
A、底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱
B、n棱柱有2n个顶点,3n条棱,n条侧棱,(n+2)个面,n个侧面。
(2)圆柱
①相关概念(如图1-1-4所示)
以长方形的一边AB所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱。其中AB叫做圆柱的轴,AB的长叫做圆柱的高,所有平行于AB的线段,如DC,叫做圆柱的母线,AD与BC旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面,DC旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。
②性质
A、圆柱的上、下底面形状相同,是能够重合的两个圆。
B、圆柱有无数条母线,它们都平行且与高相等。
③圆柱与棱柱的异同
A、相同点
a、都有上、下两个底面,且两个底面的大小、形状完全相同;
b、它们的高都是上、下底面的距离;
c、它们的体积都等于底面积乘以高,侧表面积都等于底面周长乘以高。
B、不同点
a、圆柱的底面是圆,而棱柱的底面是多边形;
b、圆柱侧面是光滑的曲面,而棱柱侧面是有一条边互相重合的顺次相连的四边形。
2、锥体:分为棱锥和圆锥
(1)棱锥
①相关概念(如图1-1-5所示)
A、底面:棱锥的多边形叫做棱锥的底面,如四边形ABCD。
B、侧面:棱锥除底面以外的各个面叫做棱锥的侧面,如△OAB、△OBC、△OCD、△ODA。
C、侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。如OA、OB、OC、OD。
D、顶点:棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,如点O。
E、高:棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
②分类
A、按底面是否为正多边形且顶点与底面中心的连线是否与底面垂直分为:正棱锥与斜棱锥。(如图1-1-6所示)
B、按底面图形的边数分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……(如图1-1-7所示),它们的底面图形的形状依次是三角形、四边形、五边形、六边形……
③正棱锥的性质
A、正棱锥的底面是正多边形,侧面是等腰三角形且大小、形状完全相同。
B、正棱锥的侧面都相等。
④元素间的关系
A、底面多边形的边数n确定该棱锥是n棱锥;
B、n棱锥只有1个顶点,2n条棱,n条侧棱,(n+1)个面,n个侧面。
(2)圆锥
①相关概念(如图1-1-8所示)
以直角三角形的一条直角边OA所在直线为旋转轴,其余两条边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥。其中
OA叫做圆锥的轴;OA的长叫做圆锥的高;点O叫做圆锥的顶点;点O与底面圆周上任意一点的连线,如OB,叫做圆锥的母线;AB旋转形成的圆叫做圆锥的底面;OB旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
②圆锥与棱锥的异同
A、相同点:都只有1个底面、1个顶点、1条高;体积都等于底面积乘以高的1/3。
B、不同点:圆锥的底面是圆,棱锥的底面是多边形;圆锥的侧面是光滑的曲面,棱锥的侧面是有一条边互相重合的顺次相连的三角形。
3、球体
二、图形的构成
1、图形是由点、线、面构成的,点动成线、线动成面、面动成体。
2、面分平面与曲面,面与面相交得到线;线分直线和曲线,线与线得到点。
第2节展开与折叠
一、棱柱的表面展开图
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的。沿棱柱表面不同的棱剪开,可得到不同组合方式的表面展开图。(以正方体为例)
1、四个面连成一排的(如图1-2-1所示)
2、三个连成一排的(如图1-2-2所示)
3、两个面连成一排的(如图1-2-3所示)
二、圆柱的展开图
1、圆柱的侧面展开图是一个长方形,一条边长是底面圆的周长,另一条邻边是圆柱的高。
2、圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成的。
三、圆锥的展开图
1、圆锥的侧面展开图是一个扇形,其中扇形的半径长是圆锥母线长,而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长。
2、圆锥的表面展开图是由一个圆(底面)和一个扇形(侧面)组成。
第3节截一个几何体
一、截面
1、概念:用一个平面去截几何体,截出的面叫做截面。
2、形状:截面的形状既与被截的几何体有关,还与截面的角度和方向有关。
二、截一个几何体所得截面的形状
1、用一个平面去截一个正方体
(1)平面经过正方体的三个相邻的面,则截面是三角形(如图1-3-1所示)
(2)平面经过正方体的四个面,则截面是四边形
①截面是正方形(如图1-3-2所示)②截面是长方形(如图1-3-3所示)
③截面是平行四边形(如图1-3-4所示)④截面是梯形(如图1-3-5所示)
(3)平面经过正方体的五个面,则截面是五边形(如图1-3-6所示)
(4)平面经过正方体的六个面,则截面是六边形(如图1-3-7所示)
2、用一个平面去截一个圆柱
(1)截面是圆(如图1-3-8所示)(2)截面是长方形(如图1-3-9所示)
(3)截面是椭圆(如图1-3-10所示)(4)截面是梯形(如图1-3-11所示)
(5)截面是拱形(如图1-3-12所示)
3、用一个平面去截一个圆锥
(1)截面是圆(如图1-3-13所示)(2)截面是椭圆(如图1-3-14所示)
(3)截面是三角形(如图1-3-15所示)(4)截面是拱形(如图1-3-16所示)
4、用一个平面去截球体,所得的截面都是圆。
第4节从三个方向看物体的形状
一、常见几何体的三种视图
名称
几何体
从正面看
从左面看
从上面看
正方体
长方体
圆柱
圆锥
正四棱锥
球
【说明】(1)在所有几何体中,只有正方体和球的三种视图是完全相同的。
(2)圆锥的俯视图中有一个点表示圆锥的顶点。
二、由小正方体搭成的几何体的三视图
1、根据俯视图的形状确定主视图和左视图
(1)先根据俯视图摆出几何体,再画出主视图和左视图。
(2)先根据俯视图确定主视图和左视图的列,再确定每列方块的个数
2、根据三种视图判断几何体的形状
(1)长、宽、高的关系
主视图与俯视图的长相等;主视图与左视图高相等;左视图与俯视图的宽相等。
(2)上下、前后、左右的关系
①根据主视图分清几何体各部分上下和左右的关系;
②根据俯视图分清几何体左右和前后的关系;
③根据左视图分清几何体上下和前后的关系。
第二章有理数及其运算
第1节有理数
一、正数和负数的概念
1、正数:比0大的数叫做正数。在正数前面放上“+”表示正数,但“+”常省略不写。
2、负数:比0小的数叫做负数。在正数前面放上“—”表示负数,而“—”不能省略。
【说明】(1)0既不是正数,也不是负数,0是正数与负数的分界。
(2)“+”可以省略,“—”不能省略。
二、用正、负数表示具有相反意义的量
1、用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,比如向东记作“+”,则向西记作“—”,如果向东记作“—”,则向西记作“+”,但****惯上把“前进”、“上升”、“收入”等具有向上趋势的量规定为正,而把“后退”、“下降”、“支出”等具有向下趋势的量规定为负。如下表所示:
符号
具有相反意义的量
+
收入额
盈余额
上升高度
零上温度
增加量
前进路程
海平面以上
—
支出额
亏损额
下降高度
零下温度
减少量
后退路程
海平面以下
2、用正、负数表示具有相反意义的量时,一定不要忘记单位。
三、有理数
1、相关概念
(1)正整数:正数中的整数叫做正整数。(2)负整数:负数中的整数叫做负整数。
(3)整数:正整数和负整数还有零统称为整数。
(4)正分数:正数中的分数叫做正分数。(5)负分数:负数中的分数叫做负分数。
(6)分数:正分数和负分数统称分数。(7)有理数:整数和分数统称有理数。
2、分类
【说明】(1)任意有限小数和无限循环小数都可以化成分数,所以属于分数。
(2)通常把正数和零统称非负数,把负数和零统称非正数。正整数和零统称非负整数,又叫做自然数,负整数和零统称非正整数。
第2节数轴
一、数轴
1、概念:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
【说明】(1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸。
(2)数轴的三要素(原点、正方向、单位长度)缺一不可。
(3)原点的选定、正方向的取向和单位长度的确定,都是根据实际情况“规定”的。
2、画法
(1)画一条水平直线;
(2)在直线上取一点作原点,表示O;
(3)一般规定直线上向右的方向为正方向,用箭头表示出来;
(4)选取某一长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1、2、3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为—1、—2、—3……(如图2-2-1所示)。
【说明】①单位长度可根据实际需要适当选取,但必须统一。
②确定单位长度时,有时根据实际情况,也可以每隔两个(或更多)单位长度取一点,如图2-2-2所示。
3、有理数与数轴上的点的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。
【说明】(1)零用原点来表示。
(2)正有理数都可以用原点右边的点表示。
(3)负有理数都可以用原点左边的点表示。
二、利用数轴比较有理数的大小
数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。
【说明】①正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
②右边的正数大于左边的正数,右边的负数大于左边的负数。
③可以用a>0表示a是正数,反之,若a是正数,则a>0;同理,可以用a<0表示a是负数,反之,若a是负数,则a<0。
第3节绝对值
一、相反数
1、相反数的定义
(1)相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,与原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。如图2-3-1所示,2与—2互为相反数。
(2)相反数的代数定义:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数是另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。特别地,0的相反数是0。
【说明】①在数轴上,表示相反数的两个点,位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。
②“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能把它漏掉。
③一个正数的相反数是一个负数,一个负数的相反数是一个正数。
2、相反数的表示方法
用a表示一个数,a的相反数是—a。如6的相反数是—6,—8的相反数是—(—8)。
【说明】①若a表示一个正数,则-a表示一个负数,a与-a互为相反数。
②如果a与b互为相反数,则有a+b=0或a=-b,反之亦成立。
3、多重符号的化简
(1)在一个数的前面添加一个“+”号,仍然与原数相同。如+5=5
(2)在一个数的前面添加一个“—”号,就成为原数的相反数。如—(—3)=3
【说明】①多重符号化简,只需考虑负号的个数,而不必考虑正号的个数。
②当负号的个数为偶数时,最后符号为正;当负号个数为奇数时,最后符号为负。
二、绝对值
1、绝对值的定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
【说明】(1)绝对值的实质是距离,所以任何数的绝对值都是非负数,即|a|≥0。
(2)从数轴上看,离原点距离越远,绝对值越大;离原点距离越近,绝对值越小。
(3)绝对值最小的数是0
2、绝对值的表示方法
用a表示一个数,a的绝对值记作“|a|”。
3、绝对值的性质
(1)绝对值的非负性,即|a|≥0
(2)正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零。
(3)互为相反数的两个数的绝对值相等,即|a|=|-a|
【说明】①求一个数的绝对值,应先判断这个数是正数、负数还是0;
②如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等或互为相反数。
4、利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
第4节有理数的加法
一、有理数加法法则
1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(1)两个正数相加和为正,并把它们的绝对值相加。如3+2=+(|3|+|2|)=5
(2)两个负数相加和为负,并把它们的绝对值相加。如-3+(—2)=-(|—3|+|-2|)=-5
2、异号两数相加,绝对值相等时和为0(即互为相反数的两个数相加和为0);绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(1)当正加数的绝对值大于负加数的绝对值时,和为正,并用正加数的绝对值减去负加数的绝对值。如5+(-3)=+(|5|-|-3|)=2;
(2)当负加数的绝对值大于正加数的绝对值时,和为负,并用负加数的绝对值减去正加数的绝对值。如5+(-8)=-(|-8|-|5|)=-(8-5)=-3;
3、一个数同0相加,仍得这个数。如2+0=2,-3+0=-3,0+0=0。
二、有理数的加法运算律
1、加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。即a+b=b+a
2、加法结合律:三个数相加时,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
【说明】(1)加法交换律和结合律中“两个”和“三个”都是概数,对于两个以上或三个以上也适用。
(2)加法结合律中的结合方法:①互为相反数的两个数;②同号的几个数;
③能凑整的几个数;④同分母的几个数
第5节有理数的减法
一、有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)
二、有理数减法运算的步骤
1、把减号变为加号,把减数变为它的相反数。
2、把变化后的式子按照有理数加法法则再结合加法运算律计算出结果。
第6节有理数的加减混合运算
一、有理数的加减混合运算的步骤
1、运用减法法则将有理数加减混合运算统一为加法运算。
2、将和式写成省略加号、括号的形式。
3、运用加法法则、加法运算律进行简便运算。
二、水位的变化
解题时要注意分清以谁为0点,高的记为正数,低的记为负数,然后再求出两高度的差。
第7节有理数的乘法
一、有理数乘法法则
1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
(1)两个正数相乘积为正,并把绝对值相乘。如3×2=+(|3|×|2|)=6
(2)两个负数相乘积为正,并把绝对值相乘。如-3×(-2)=+(|-3|×|-2|)=6
(3)正数与负数相乘积为负,并把绝对值相乘。如2×(-3)=-(|2|×|-3|)=-6
2、任何数与0相乘,积仍为0。如6×0=0,—3×0=0,0×0=0。
【说明】①几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。
A、当负因数的个数为奇数时,积为负;B、当负因数的个数为偶数时,积为正。
②几个数相乘,只要有一个因数是0,则积为0。
二、倒数
1、倒数的概念
如果两个有理数的乘积为1,那么称其中一个数是另一个数的倒数,也称这两个数互为倒数。
【说明】(1)如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
(2)倒数等于本身的数是1和-1。
(3)乘积为-1的两个数互为负倒数。
2、倒数的性质
(2)正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,0没有倒数。
(3)互为相反数的两个数的倒数也互为相反数。
三、有理数的乘法运算律
1、乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变。即a·b=b·a
2、乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者把后两个数相乘,积不变。
即a·b·c=(a·b)c=a(b·c)
3、乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。即a(b+c)=ab+ac
【说明】(1)乘法分配律可以推广为a(b+c+d+…n)=ab+ac+ad+…+an
(2)乘法分配律还可以逆用:ab+ac=a(b+c)
(3)乘法结合律中的结合方法:①互为倒数的;②能约分的;
③能凑整的;④有共同因数的。
第8节有理数的除法
一、有理数除法法则
1、两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
2、0除以任何非0的数都得0。
【说明】(1)0不能作除数,0作除数无意义。
(2)一般来说,两数能整除时,应该选择法则1;两数不能整除或除数为分数时,应选择法则3。
二、求一个数的倒数
用1除以一个数,商就是这个数的倒数。