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一、数的整除(一)
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,.
一些数的整除特征
除数
能被整除的数的特征
2或5
末位数能被2或5整除
4或25
末两位数能被4或25整除
8或125
末三位数能被8或125整除
3或9
各位上的数字和被3或9整除(如771,54324)
11
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除
(如143,1859,1287,908270等)
7,11,13
从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001,22743,17567,21281等)
能被7整除的数的特征:
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100-2=98(能被7整除)
又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除)
能被11整除的数的特征:
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100-1=99(能11整除)
又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除)
二、
1两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的倍数,7是0的约数。
3整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。
4整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1,±2,±3,±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数 若用字母表示可记作:
A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除
例如23=3×7+2 则23-2能被3整除。
三、
1正整数的一种分类:
质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2根椐质数定义可知
质数只有1和本身两个正约数,
质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,
3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。
四、零的特性
一,零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数,是整数,是偶数。
零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支衡可记作结存0元。
零是判定正、负数的界限。
若a>0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则a>0
记作 a>0a是正数 读作a>0等价于a是正数
b<0b是负数
c≥0c是非负数(即c不是负数,而是正数或0)
d0d是非正数(即d不是正数,而是负数或0)
e0e不是0 (即e不是0,而是负数或正数)
在一切非负数中有一个最小值是0。
例如 绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0。
记作:|a|≥0,当a=0时,|a|的值最小,是0,
a2≥0,a2有最小值0(当a=0时)。
在一切非正数中有一个最大值是0。
例如 -|X|≤0,当X=0时,-|X|值最大,是0,(∵X≠0时都是负数),
-(X-2)20,当X=2时,-(X-2)2的值最大,是0。
二,零具有独特的运算性质
乘方:零的正整数次幂都是零。
2,除法:零除以任何不等于零的数都得零;
零不能作除数。从而推出,0没有倒数,分数的分母不能是0。
乘法:零乘以任何数都得零。 即a×0=0,
反过来 如果 ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
加法 互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。
即a、b互为相反数a+b=0
减法 两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定,
若a-b=0,则a=b; 若a-b>0,则a>b; 若a-b<0,则a<b。
反过来也成立,当a=b时,a-b=0;当a>b时,a-b>0;当a<b时,a-b<0.
三,在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度。
例如 ,(即1分米),误差不超过5厘米;(即1厘米),误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下:
< ≤<1605
五、an的个位数
.,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。
,1,5,6,的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5,620的个位数是6。
2,3,7的正整数次幂的个位数字的规律见下表:
指 数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
底
数
2
2
4
8
6
2
4
8
6
2
4
……
3
3
9
7
1
3
9
7
1
3
9
……
7
7
9
3
1
7
9
3
1
7
9
……
其规律是:2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现,即24k+1与21,24K+2与22,24K+3与23,24K+4与24的个位数是相同的(K是正整数)。 3和7也有类似的性质。
,8,9的正整数次幂的个位数,可仿照上述方法,也可以用4=22,
8=23,9=32转化为以2、3为底的幂。
,整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律:
a4K+m与am的个位数相同(k,m都是正整数)
六、数学符号
数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义,即当我们把它规定为某种意义后,就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为:
1,元素符号:通常用小写字母表示数,用大写字母表示点,用⊙和△表示园和三角形等。
2,关系符号:如等号,不等号,相似∽,全等≌,平行∥,垂直⊥等。
3,运算符号:如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4,逻辑符号:略
5,约定符号和辅助符号:例如我们约定正整数a和b中,如果a除以b的商的整数部份记作Z(),而它的余数记作R(),那么
Z()=3,R()=1;又如设表示不大于x的最大整数,那么=5,
=-6,=0,=-3。
正确使用符号的关健是明确它所表示的意义(即定义)
对题设中临时约定的符号,一定要扣紧定义,由简到繁,由浅入深,由具体到抽象,逐步加深理解。
在解题过程中为了简明表述,需要临时引用辅助符号时,必须先作出明确的定义,所用符号不要与常规符号混淆。
七、用字母表示数
用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来,从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上,是一种飞跃。
用字母表示数时,字母所取的值,应使代数式有意义,并使它所表示的实际问题有意义。
例如①写出数a的倒数 ②用字母表示一切偶数
解:①当a≠0时, a的倒数是
②设n为整数, 2n可表示所有偶数。
命题中的字母,一般要注明取值范围,在没有说明的情况下,它表示所学过的数,并且能使题设有意义。
例题① 化简:⑴|x-3|(x<3)⑵|x+5|
解:⑴∵x<3,∴x-3<0,
∴|x-3|=-(x-3)=-x+3
⑵当x≥-5时,|x+5|=x+5,
当x<-5时,|x+5|=-x-5(本题x表示所有学过的数)
己知十位上的数是a,个位数是b,试写出这个两位数
解:这个两位数是10a+b
(本题字母a、b的取值是默认题设有意义,即a表示1到9的整数,b表示0到9的整数)
用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时,一般左边作为题设,所用的字母是使左边代数式有意义的,所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。
例如用字母表示:①分数的基本性质 ②分数除法法则
解:①分数的基本性质是(m≠0),(m≠0)
a作为左边的分母不另说明a≠0,
②(d≠0)d在左边是分子到了右边变分母,故另加说明。
用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式,不仅可从左到右顺用,还可从右到左逆用;公式可以变形,变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如:
乘法分配律,顺用a(b+c)=ab+ac,2=
逆用5a+5b=5(a+b),×-×=(-)=
路程S=速度V×时间T,V=(T≠0),T=(V≠0)
用因果关系表示的性质、法则,一般不能逆用。
例如:加法的符号法则如果a>0,b>0,那么a+b>0,不可逆
绝对值性质如果a>0,那么|a|=a也不可逆(若|a|=a则a≥0)
有规律的计算,常可用字母表示其结果,或概括成公式。
例1:正整数中不同的五位数共有几个?不同的n位数呢?
解:不同的五位数可从最大五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数,即99999-9999=90000.
推广到n位正整数,则要观察其规律
一位正整数,从1到9共9个,记作9×1
二位正整数从10到99共90个,记作9×10
三位正整数从100到999共900个,记作9×102
四位正整数从1000到9999共9000个,记作9×103(指数3=4-1)
…………
∴n位正整数共9×10n-1个
例2_____________________________________________________
ACDEB
在线段AB上加了3个点C、D、E后,图中共有几条线段?加n点呢?
解:以A为一端的线段有:AC、AD、AE、AB共4条
以C为一端的线段有:(除CA外)CD、CE、CB共3条
以D为一端的线段有:(除DC、DA外)DE、DB共2条
以E为一端的线段有:(除ED、EC、EA外)EB共1条
共有线段1+2+3+4=10(条)注意:3个点时,是从1加到4,因此
如果是n个点,则共有线段1+2+3+……+n+1==条
八、抽屉原则
4个苹果放进3个抽屉,有一种必然的结果:至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个(即等于或多于2个);如果7个苹果放进3个抽屉,那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个(即的等于或多于3个),这就是抽屉原则的例子。
如果用表示不小于的最小整数,例如=3,。那么抽屉原则可定义为:m个元素分成n个集合(m、n为正整数m>n),则至少有一个集合里元素不少于个。
根据的定义,己知m、n可求;
己知,则可求的范围,例如己知=3,那么2<≤3;己知=2,则1<≤2,即3<x≤6,x有最小整数值4
九、一元一次方程解的讨论
方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如:方程 2x+6=0, x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解
分别是: x=-3,x=0或x=1, x=±6,所有的数,无解。
关于x的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b后,
讨论它的解:当a≠0时,有唯一的解 x=;
当a=0且b≠0时,无解;
当a=0且b=0时,有无数多解。(∵不论x取什么值,0x=0都成立)
3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a|b时,方程有整数解;
当a|b,且a、b同号时,方程有正整数解;
当a、b同号时,方程的解是正数。
综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax=b
十、二元一次方程的整数解
二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中,
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果(a,b)|c则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立,方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解,
∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。
二元一次方程整数解的求法:
若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。
方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解
解:x==(1),
设是整数),则y=1-5k(2),
把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是(k是整数)
方法二,公式法:
设ax+by=c有整数解则通解是(x0,y0可用观察法)
求二元一次方程的正整数解:
出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值
用观察法直接写出。
十一、二元一次方程组解的讨论
二元一次方程组的解的情况有以下三种:
当时,方程组有无数多解。(∵两个方程等效)
当时,方程组无解。(∵两个方程是矛盾的)
当(即a1b2-a2b1≠0)时,方程组有唯一的解:
(这个解可用加减消元法求得)
方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。
十二、用交集解题
某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个。
由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A={1,2,3,6},10的正约数集合B={1,2,5,10},6与10的公约数集合C={1,2},集合C是集合A和集合B的交集。
几个集合的交集可用图形形象地表示,
右图中左边的椭圆表示正数集合,
右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆
的公共部分,是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组解的集合就是
不等式(1)的解集x>3和不等式(2)的解集x>2的交集,x>3.
如数轴所示:
0 2 3
,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,得答案。
十三、用枚举法解题
有一类问题的解答,可依题意一一列举,并从中找出规律。列举解答要注意:
按一定的顺序,有系统地进行;
分类列举时,要做到既不重复又不违漏;
遇到较大数字或抽象的字母,可从较小数字入手,由列举中找到规律。
十四、经验归纳法
“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法,也叫做经验归纳法。例如
①由(-1)2=1,(-1)3=-1,(-1)4=1,……,
归纳出-1的奇次幂是-1,而-1的偶次幂是1。
②由两位数从10到99共90个(9×10),
三位数从100到999共900个(9×102),
四位数有9×103=9000个(9×103),
…………
归纳出n位数共有9×10n-1 (个)
由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明朗化,必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归纳法证明)
十五、乘法公式
乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。
公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
立方和(差)公式:(a±b)(a2ab+b2)=a3±b3
:
多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)
(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5)
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
由平方差、立方和(差)公式引伸的公式
(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4
(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数
(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n
(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地:
(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn
公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
由公式的推广③可知:当n为正整数时
an-bn能被a-b整除,
a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n-b2n能被a+b及a-b整除。
十六、整数的一种分类
余数的定义:在等式A=mB+r中,如果A、B是整数,m是正整数,
r为小于m的非负整数,那么我们称r是A除以m的余数。
即:在整数集合中 被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数)
例如:13,0,-1,-9除以5的余数分别是3,0,4,1
(∵-1=5(-1)+4。 -9=5(-2)+1。)
显然,整数除以正整数m,它的余数只有m种。
例如整数除以2,余数只有0和1两种,除以3则余数有0、1、2三种。
整数的一种分类:按整数除以正整数m的余数,分为m类,称为按模m分类。例如:
m=2时,分为偶数、奇数两类,记作{2k},{2k-1} (k为整数)
m=3时,分为三类,记作{3k},{3k+1},{3k+2}.
或{3k},{3k+1},{3k-1}其中{3k-1}表示除以3余2。
m=5时,分为五类,{5k}.{5k+1},{5k+2},{5k+3},{5k+4}
或{5k},{5k±1},{5k±2}, 其中5k-2表示除以5余3。
余数的性质:整数按某个模m分类,它的余数有可加,可乘,可乘方的运算规律。
举例如下:
①(3k1+1)+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 (余数1+1=2)
②(4k1+1)(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 (余数1×3=3)
③(5k±2)2=25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 (余数22=4)
以上等式可叙述为:
两个整数除以3都余1,则它们的和除以3必余2。
两个整数除以4,分别余1和3,则它们的积除以4必余3。
如果整数除以5,余数是2或3,那么它的平方数除以5,余数必是
4或9。
余数的乘方,包括一切正整数次幂。
如:∵17除以5余2∴176除以5的余数是4(26=64)
运用整数分类解题时,它的关鍵是正确选用模m。
十七、
奇数和偶数是在整数集合里定义的,能被2整除的整数是偶数,如2,0-2…,不能被2整除的整数是奇数,如-1,1,3。
如果n是整数,那么2n是偶数,2n-1或2n+1是奇数。如果n是正整数,那么2n是正偶数,2n-1是正奇数。
奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为:
整数 或整数集合
这就是说,在整数集合中是偶数就不是奇数,不是偶数就是奇数,如果既不是偶数又不是奇数,那么它就不是整数。
奇数偶数的运算性质:
奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数±偶数=偶数
奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数
奇数的正整数次幂是奇数,偶数的正整数次幂是偶数,
两个連续整数的和是奇数,积是偶数。
十八、式的整除
定义:如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式,并且余式是零,则称这个整式被另一个整式整除。
根据被除式=除式×商式+余式,设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式,
那么 式的整除的意义可以表示为:
若f(x)=p(x)×q(x), 则称f(x)能被p(x)和q(x)整除
例如∵x2-3x-4=(x-4)(x+1),
∴x2-3x-4能被(x-4)和(x+1)整除。
显然当 x=4或x=-1时x2-3x-4=0,
一般地,若整式f(x)含有x–a的因式,则f(a)=0
反过来也成立,若f(a)=0,则x-a能整除f(x)。
在二次三项式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab
在恒等式中,左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。
十九、因式分解
我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。下面再介紹两种方法
添项拆项。,能运用公式(包括配方)或提公因式
例1因式分解:①x4+x2+1 ②a3+b3+c3-3abc
①分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式
解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x)
②分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2
解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2
=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)