点线面位置关系(知识点加典型例题).doc

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、直线、平面之间的位置关系
1、教学重点和难点
重点:空间直线、平面的位置关系。
难点:三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换
2、三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
L
A
·
α
A∈L
B∈L=>Lα,A∈α,B∈α
C
·
B
·
A
·
α
公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
推论:①一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面
③两条平行直线可确定一个平面
P
·
α
L
β
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等.
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面
3、异面直线所成角θ的范围是00<θ≤900

1空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
=>a∥c
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
—、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
针对性练****br/>,则下列结论成立的是()
;;
;.
,下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线;
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是()
,若,则与所成角为
A、B、C、D、
:
(1)直线a与平面不平行,则a与平面内的所有直线都不平行;
(2)直线a与平面不垂直,则a与平面内的所有直线都不垂直;
(3)异面直线a、b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;
(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面
其中错误命题的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3
-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有()条A3B4C6D8
,PO⊥平面ABC,垂足为O,若PA=PB=PC,则点O是ΔABC的()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
,AB=AD=2,CC1=,则二面角
C1—BD—C的大小为()
(A)300(B)450(C)600(D)900
,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是()
A、若aα,bα,c⊥a,c⊥b则c⊥αB、若bα,a//b则a//α
C、若a//α,α∩β=b则a//bD、若a⊥α,b⊥α则a//b
()
;//,a//
,直线b,且a//,b//
10、a,b是异面直线,下面四个命题:
①过a至少有一个平面平行于b;②过a至少有一个平面垂直于b;
③至多有一条直线与a,b都垂直;④至少有一个平面与a,b都平行。
其中正确命题的个数是( )A 0 B 1 C 2 D 3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
//平面,平面//平面,则a与的位置关系为
.
⊥直线b,a//平面,则b与的位置关系为.
13如图,ABC是直角三角形,ACB=,PA平面ABC,此图形中有个直角三角形
A
B
C
P
、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线,
给出四个论断:
①m^n②α^β③m^β④n^α
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为
正确的一个命题:______________________________________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC求证:AB⊥BC
P
A
B
C
-ABC中,已知AB=AC,O是BC的中点,平面SAO⊥平面ABC
A
B
O
C
S
求证:∠SAB=∠SAC

,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2(1)求证:平面AEF⊥
平面PBC;
(2)求二面角P—BC—A的大小;(3)求三棱锥P—AEF的体积.
A
B
C
P
E
F
参考答案
;;;;;;;;;
;;;②③④则①
17.(2)45°
、平面平行的判定及其性质

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
bβ=>a∥α
a∥b

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
aβa∩b=Pβ∥α
bβa∥αb∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
—、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
练****巩固:
1、若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线(   d)
          
2、下列结论中,正确的有(  a )
①若aα,则a∥α ②a∥平面α,bα则a∥b
③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b ④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a,则aα
       
3、在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是(   )
         
4、a,b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结论成立的是(   d)
,b ,b
,b ,b的平面可能不存在
5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是(   )
∥α                   
                
6、下列命题中正确的命题的个数为( a  )
①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.
           
7、下列命题正确的个数是(   a)
(1)若直线l上有无数个点不在α内,则l∥α
(2)若直线l与平面α平行,l与平面α内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与平面平行,那么另一条也与这个平面平行
(4)若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥α
      
8、已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:其中真命题是d
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若mα,nβ,m∥n,则α∥β; ④若m、n是异面直线,mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.
A.①和②   B.①和③   C.③和④   D.①和④
9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有( c )
               
10、对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:①存在平面γ,使得α、β都垂直于γ;②存在平面γ,使α、β都平行于γ;③α内有不共线的三点到β的距离相等;④存在异面直线l,M,使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.
其中可以判断两个平面α与β平行的条件有( b)
                                 
二、填空题【共4道小题】
1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q,则PQ=_________.
参考答案与解析:解析:由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC,PQ=平面PMN∩平面AC,∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.:
2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上,那么这些点在空间的位置是__________.
参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内
3、若直线a和b都与平面α平行,则a和b的位置关系是__________.
参考答案与解析:相交或平行或异面
4、正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1中点,则BD1与过点A,C,E的平面的位置关系是_________.
参考答案与解析:解析:如图所示,连结BD,设BD∩AC=O,连结BD1,在△BDD1中,E为DD1的中点,O为BD的中点,∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1.
又平面ACE,OE平面ACE,∴BD1∥:平行
三、解答题【共3道小题】
1、如图,直线AC,DF被三个平行平面α、β、γ所截.
①是否一定有AD∥BE∥CF;
②求证:.
参考答案与解析:解析:①平面α∥平面β,平面α与β没有公共点,但不一定总有AD∥BE.
同理不总有BE∥CF.
②过A点作DF的平行线,交β,γ于G,H两点,AH∥,DF的平面,交平面α,β,γ于AD,GE,,有AD∥GE∥HF.
AGED为平行四边形.∴AG=DE.
同理GH=EF.
又过AC,AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG,,有BG∥CH.
在△ACH中,.而AG=DE,GH=EF,∴.
2、如图,ABCD是平行四边形,S是平面ABCD外一点,M为SC的中点.
求证:SA∥平面MDB.
参考答案与解析:解析:要说明SA∥平面MDB,就要在平面MDB内找一条直线与SA平行,注意到M是SC的中点,于是可找AC的中点,构造与SA平行的中位线,再说明此中位线在平面MDB内,即可得证.
证明:连结AC交BD于N,因为ABCD是平行四边形,,所以MN∥,所以SA∥平面MDB.