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传统几何证明方法知识要点
一、判定两线平行的方法
平行于同一直线的两条直线互相平行
垂直于同一平面的两条直线互相平行
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明
二、判定线面平行的方法
据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行
两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面
平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义:没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行
3垂直于同一直线的两个平面平行
4、平行于同一平面的两个平面平行
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行
垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直
如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
定义:成角
直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直
一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
定义:两面成直二面角,则两面垂直
一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
二面角的平面角为
在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
1、异面直线所成的角的取值范围是:
2、直线与平面所成的角的取值范围是:
3、斜线与平面所成的角的取值范围是:
4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:
十、三角形的心
内心:内切圆的圆心,角平分线的交点
外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点
重心:中线的交点
垂心:高的交点
十一、常用公式
1、球的表面积公式:.
2、球的体积公式:.
3、圆柱体积:(为半径,为高)
4、圆锥体积:(为半径,为高)
5、锥体体积:(为底面积,为高)
6、扇形面积公式
R是扇形半径,n是弧所对圆心角度数,π是圆周率,L是扇形对应的弧长。
(L为弧长,R为扇形半径)
空间向量知识点
十二、空间向量
(1):共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合.
:对空间任意两个向量,∥的充要条件是存在实数 (具有唯一性),使.
:若向量使之平行于平面或在内,则与的关系是平行,记作 ∥.
d.①共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在 实数对x、y使.
②空间任一点O和不共线三点A、B、C,则是PABC四点共面的充要条件.
(2).空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x、y、z,使.
推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使(这里隐含x+y+z≠1).
(3).:空间直角坐标系的x轴是横轴(对应为横坐标),y轴是纵轴(对应为纵坐标),z轴是竖轴(对应为竖坐标).
①令=(a1,a2,a3),,则
,,,
∥。
。
(向量模与向量之间的转化:)
空间两个向量的夹角公式
(a=,b=)。
②空间两点的距离公式:.
:若向量所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作,如果那么向量叫做平面的法向量.
:
①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设n是平面的法向量,AB是平面的一条射线,其中,则点B到平面的距离为.
②.异面直线间的距离(是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离).
③.直线与平面所成角(为平面的法向量).
④.利用法向量求二面角的平面角定理:设分别是二面角中平面的法向量,则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小(方向相同,则为补角,反方,则为其夹角).
二面角的平面角或(,为平面,的法向量).
20XX年1月19日