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第一章:集合与函数概念
§、集合
1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。
3、常见集合:正整数集合:或,整数集合:,有理数集合:,实数集合:.
4、集合的表示方法:列举法、描述法.
§、集合间的基本关系
1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集。记作.
2、如果集合,但存在元素,且,:AB.
3、:.并规定:空集合是任何集合的子集.
4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有个子集,个真子集.
§、集合间的基本运算
1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.
记作:.
2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.
记作:.
3、全集、补集
§、函数的概念
1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有惟一确定的数和它对应,那么就称为集合A到集合B的一个函数,记作:.
2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.
§、函数的表示法
函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.
§、单调性与最大(小)值
1、注意函数单调性的证明方法:
(1)定义法:设那么
上是增函数;
上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断
格式:解:设且,则:=…
§、奇偶性
1、一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,.
2、一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,.
3、函数的极值
(1)极值定义:
极值是在附近所有的点,都有<,则是函数的极大值;
极值是在附近所有的点,都有>,则是函数的极小值.
(2)判别方法:
①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.
4、求函数的最值
(1)求在内的极值(极大或者极小值)
(2)将的各极值点与比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。
注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质);最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。
第二章:基本初等函数(Ⅰ)
§、指数与指数幂的运算
1、一般地,如果,那么叫做的次方根。其中.
2、当为奇数时,;
当为偶数时,.
3、我们规定:
图
象
性
质
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
(5);
(5);
⑴
;
⑵;
4、运算性质:
⑴;
⑵;
⑶.
§、指数函数及其性质
1、记住图象:
2、性质:
§、对数与对数运算
1、指数与对数互化式:;
2、对数恒等式:.
3、基本性质:,.
4、运算性质:当时:
⑴;
⑵;
⑶.
5、换底公式:
.
6、重要公式:
7、倒数关系:.
§2..、对数函数及其性质
1、记住图象:
2、性质:
图
象
性
质
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在(0,+∞)上是减函数
(5);
(5);
§、幂函数
1、几种幂函数的图象:
第三章:函数的应用
§、方程的根与函数的零点
1、方程有实根
函数的图象与轴有交点函数有零点.
2、零点存在性定理:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根.
§、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§、几类不同增长的函数模型
§、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函数拟合,最后检验.