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我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,,如何确定一个圆呢?
复****引入
A
M
r
x
O
y
问题
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.
因此一个圆最基本要素是圆心和半径.
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x,y)
引入新课
如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用坐标(a,b)表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)的距离.
符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法来表示这个集合吗?
符合上述条件的圆的集合:
圆的方程
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x,y)
问题
圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)之间的距离能用什么公式表示?
圆的方程
根据两点间距离公式:
则点M、A间的距离为:
即:
是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这个方程的坐标的点都在圆上?
圆的标准方程
点M(x,y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐标适合方程;反之,若点M(x,y)的坐标适合方程,这就说明点M与圆心的距离是r,即点M在圆心为A(a,b),半径为r的圆上.
问题
把这个方程称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的方程,把它叫做圆的标准方程(standardequationofcircle).
特殊位置的圆方程
因为圆心是原点O(0,0),将x=0,y=0和半径r带入圆的标准方程:
问题
圆心在坐标原点,半径长为r的圆的方程是什么?
得:
整理得:
例1写出圆心为,半径长等于5的圆的方程,并判断点,是否在这个圆上.
解:圆心是,半径长等于5的圆的标准方程是:
把的坐标代入方程左右两边相等,点的坐标适合圆的方程,所以点
在这个圆上;
典型例题
把点的坐标代入此方程,左右两边不相等,点的坐标不适合圆的方程,所以点不在这个圆上.
例1写出圆心为,半径长等于5的圆的方程,并判断点,是否在这个圆上.
解:圆心是,半径长等于5的圆的标准方程是:
典型例题
A
x
y
o
M1
M2
怎样判断点在圆内呢?还是在圆外呢?
点与圆的位置关系
探究
A
x
y
o
M1
M2
M3
从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需将这个点的坐标带入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立,则在这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上.