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一、行列式的计算(重点考四阶行列式)
1、利用行列式的性质化成三角行列式
行列式的性质可概括为五条性质、四条推论,即七种变形手段(转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加);三个为0【两行(列)相同、成比例、一行(列)全为0】
2、行列式按行(列)展开定理降阶
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
例1、计算行列式
二、解矩阵方程
矩阵方程的标准形式:
若系数矩阵可逆,则
切记不能写成或
求逆矩阵的方法:
1、待定系数法
2、伴随矩阵法
其中叫做的伴随矩阵,它是的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。
3、初等变换法
例2、解矩阵方程
例3、解矩阵方程,其中
三、解齐次或非齐次线性方程组
设,元齐次线性方程组有非零解
元齐次线性方程组只有零解。
当时,元齐次线性方程组只有零解。
当时,元齐次线性方程组有非零解。
当时,齐次线性方程组一定有非零解。
定义:设齐次线性方程组的解满足:
线性无关,
的每一个解都可以由线性表示。
则叫做的基础解系。
定理1、设,齐次线性方程组,若,则该方程组的基础解系一定存在,且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于。
齐次线性方程组的通解
设,元非齐次线性方程组有解。
唯一解。
无数解。
无解。
非齐次线性方程组的通解,
例4、求齐次线性方程组的通解
例5、求非齐次线性方程组的通解。
四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论
例6、当为何值时,齐次线性方程组有非零解,并求解。
例7、已知线性方程组,问当为何值时,它有唯一解,无解,无穷多解,并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性
线性相关中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。
存在不全为0的数使得。
有非零解有非零解
有非零解
线性无关中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。
若,则。
只有零解只有零解
特殊的,个维向量线性相关或。
个维向量线性无关或。
例8、已知向量组,,,
讨论使该向量组(1)线性相关(2)线性无关
六、求向量组的秩,极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示
设向量组,若从中选出个向量构成向量组
满足:
线性无关
中的每一个向量都能由线性表示,
条件(2)换一句话说的任意个向量(若有的话)都线性相关,或者说从中向任意添加一个向量(若有的话),所得的向量组都线性相关。
则叫做的极大线性无关向量组,简称极大无关组。
向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩,
记作
求向量组的秩的方法:
扩充法
子式法
最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩,也就是这个向量组的秩,并且这个子式的行(列)对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。
初等变换法同法二构成矩阵,对矩阵进行初等变换。
例9、设向量组
求(1)向量组的秩;
(2)向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。
七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题
相似矩阵的性质:
1、相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,行列式,迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。
相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。
相似矩阵有相同的可逆性,当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。
4、若与相似,则与相似,,则与相似。
与相似
有个线性无关的特征向量,且以它们为列向量组的矩阵使,分别为与对应的的特征值。
若有个互不相等的特征值,则一定与相似。
与相似对应于的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。
其中为的重数
例10、设矩阵与相似
(1)求x与y;
(2)求可逆矩阵,使。
例11、设,问为何值时,矩阵能相似对角化。
例12、设三阶矩阵的特征值为,,,对应的特征向量依次为,,,求矩阵。
例13、设三阶实对称矩阵的特征向值,与特征值对应的特征向量为,求。
八、化二次型为标准型,并求所用线性变换的矩阵
例14、化二次型为标准型,并求所用可逆线性变换的矩阵。
例15、化二次型为标准形,并求所用可逆线性变换的矩阵。