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(1)一个函数图像自身的对称性
性质1:对于函数,若存在常数使得函数定义域内的任意,都有,则函数的图像关于直线对称.
【特例】,当时,的图像关于直线对称.
性质2:对于函数,若存在常数使得函数定义域内的任意,都有-的图像关于点对称.
【特例】:当时,的图像关于点对称.
事实上,上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质3:设函数,如果对于定义域内任意的,都有,则的图像关于直线对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质4:设函数,如果对于定义域内任意的,都有,则的图像关于点对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【小结】函数对称性的充要条件
函数关系式()
对称性
函数图像是奇函数
函数图像是偶函数
或
函数图像关于直线对称
或
函数图像关于点对称
(2)两个函数图像之间的对称性
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特别地,函数与的图像关于直线对称.
(2010江苏卷5)设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a=_________a=-1
(约定)
(1)若,或,则的周期;
(2)若,或,或,或,
或,则的周期;
【说明】函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),.
(可与三角函数类比)
定理1:若定义在上的函数的图像关于直线和对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
推论1:若函数满足及,则是以为周期的周期函数.
定理2:若定义在上的函数的图像关于点和直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
推论2:若函数满足及,则是以为周期的周期函数.
定理3:若定义在上的函数的图像关于点和对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
推论3:若函数满足及,则是以为周期的周期函数.
、若函数为偶函数,则函数的图像关于直线对称.
2、若函数为奇函数,则函数的图像关于点对称.
3、定义在上的函数满足,且方程恰有个实根,则这个实根的和为.
.
如果奇函数在区间上是递增的,那么函数在区间上也是递增的;
②如果偶函数在区间上是递增的,那么函数在区间上是递减的;
(主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等).
(1)函数的图象是把的图象沿轴向左或向右平移个单位得到的.
(2)函数+的图象是把助图象沿轴向上或向下平移个单位得到的
(1)由得到,就是把的图像在轴下方的部分作关于轴对称的图像,即把轴下方的部分翻到轴上方,而原来轴上方的部分不变.
(2)由得到,就是把的图像在轴右边的部分作关于轴对称的图像,即把轴右边的部分翻到轴的左边,而原来轴左边的部分去掉,右边的部分不变.
:将的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的倍,得到
(1)函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到;
(2)函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到;
(3)函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到;
(4)函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到.
(5)函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到;
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【注意】:函数图像平移和伸缩变换应注意的问题
(1)观察变换前后位置变化:.函数图像的平移、伸缩变换中,图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.
(2)观察变换前后量变化:直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线,但可以改变直线的倾斜角,双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置;
(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数”及函数等)相互转化.
(4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系.
12、求一个函数的解析式时,你标注了该函数的定义域了吗?
13、求函数的定义域的常见类型记住了吗?
(1)函数y=的定义域是;
复合函数的定义域弄清了吗?
(2)函数的定义域是[0,1],[],求函数的定义域
14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。
(3)若函数y=asin2x+2cosx-a-2(a∈R)的最小值为m,求m的表达式
17、判断一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗?在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
根据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值,作差,判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。
你知道函数的单调区间吗?(该函数在和上单调递增;在和上单调递减)这可是一个应用广泛的函数!
解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论呀.
对数的换底公式及它的变形,你掌握了吗?()
你还记得对数恒等式吗?()
“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”,你是否注意到必须;当a=0时,“方程有解”“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形?
例如:
:
(1)所有的幂函数在都有定义,并且图像都过点;
(2)时,幂函数的图像通过原点,,当时,幂函数的图像下凸;当时,幂函数的图像上凸;
(3)时,,当从右边趋向原点时,图像在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图像在轴上方无限地逼近轴正半轴.
【说明】:对于幂函数我们只要求掌握的这5类,它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1),并且时图像都经过(1,1),把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.