数学家的生日蛋糕.pptx

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数学家的生日蛋糕
——积分
一、引例:数学家的生日蛋糕
某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型,学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数
r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5,0<h<1
(单位:米)。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积(底面除外),问如何计算重量和表面积?
解设高为H,半径r,比重为k
若蛋糕是单层圆盘的,则蛋糕的重量和表面积分别为:
W=kHr2S=2Hr+r2
若蛋糕是双层的,每层高H/2,下层半径r1,上层半径r2,则
W=kH(r12+r22)/2
S=H(r1+r2)+r22
如果蛋糕是n层的,每层高H/n,半径分别r1,…,rn,则
r
H
r1
r2
若蛋糕边缘是曲线r=r(h),0<h<H,各层半径近似为ri=r((i-1/2)H/n),i=1,…,n,那么
当n,
二、数学理论复****积分
函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为
其中a=x0<x1<…<xn=b,
xi=xi-xi-1,i(xi-1,xi),i=1,2,…,n
若在[a,b]上,F’(x)=f(x),则
二重积分定义为
三、数值积分:梯形法和重积分
1、梯形法
在[xi-1,xi]上f(x)近似为一直线,用弦线代替,则
设f(x)在[a,b]上大于0,a=x0<x1<……<xn=b,则
a
xi-1
b
xi
通常将[a,b]区间n等分,h=(b-a)/n,xi=a+ih,
称为梯形公式
2、重积分
重积分的数值计算可通过单积分组合计算
我们利用梯形法,先将[a,b]区间m等分,hx=(b-a)/m,xi=a+ihx,i=0,1,…,m
再将[c(xi),d(xi)]区间n等分,
hy(i)=(d(xi)-c(xi))/n,
yij=c(xi)+jhy(i),则
G(xi)
A
a
b
d(x)
c(x)
其中
。
I=dblquad2(‘f_name’,a,b,‘c_lo’,‘d_hi’,
m,n)
其中‘f_name’为被积函数f(x,y)字符串,其中x为标量,y为向量,‘c_lo’和‘d_hi’是y的下上限;a,b为x的下上限;m,n为x和y方向的等分数(缺省值100)。
四、使用MATLAB
解将被积函数及y的上下限函数写为M函数文件,再调用dblquad2即可求解。
例1
trapz梯形法积分quad变步长数值积分
int符号积分quad8高精度数值积分
dblquad矩形区域的二重积分