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①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型的形式;
②逆求法(反求法):通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围;常用来解,型如:;
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
常针对根号,举例:
令,原式转化为:,再利用配方法。
⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式法:转化成型如:,利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。
(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
⑴单调性:定义(注意定义是相对与某个具体的区间而言)
增函数:减函数:
注:①函数上的区间I且x1,x2∈>0(x1≠x2),则函数f(x)在区间I上是增函数;
若<0(x1≠x2),则函数f(x)是在区间I上是减函数。
②用定义证明单调性的步骤:
<1>设x1,x2∈M,且;则
<2>作差整理;
<3>判断差的符号;<4>下结论;
③增+增=增减+减=减
④复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
任取x1,x2∈D,且x1<x2;
作差f(x1)-f(x2);
变形(通常是因式分解和配方);
定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
注意:,,(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
⑵奇偶性:定义(注意区间是否关于原点对称,比较f(x)与f(-x)的关系)
f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。
注:①若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.
⑶周期性:①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期;
②若f(x+a)=f(x+b),a、b为常数且a≠b,则b-a是函数f(x)的周期。
一般地,对于函数f(x),如果对于定义域中的任意一个x的值.
若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期;
若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)是周期函数,|b-a|是它的一个周期;
一般地,对于函数f(x),如果对于定义域中的任意一个x的值.
若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期;
若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)是周期函数,|b-a|是它的一个周期;
一般地,对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一个x的值.
若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=,若f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称;
若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(0,),若f(a+x)=-f(a-x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
周期性与对称性是相互联系、,若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则f(x)必为周期函数,且2|b-a|是它的一个周期;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则f(x)必为周期函数,且2|b-a|为它的一个周期;若f(x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a≠b),则f(x)为周期函数,且4|b-a|是它的一个周期.
⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=对称;(即:‘一均二等’的原则)
②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=对称.
③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y轴),直线y=0(即x轴),原点。
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
凑配法
待定系数法
换元法
消参法
(小)值(定义见课本p36页)
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
利用图象求函数的最大(小)值
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题:
:
⑴⑵
,则函数的定义域为__
,则函数的定义域是
,若,则=
:
⑴⑵
(3)(4)
,求函数,的解析式
,则=。
,且当时,,则当时=
在R上的解析式为
:
⑴⑵⑶
.
:.