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常用数集:自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R.
:
(1)A是B的子集:集合A中的任意元素,都在集合B,记为A⊆B(或B⊇A).
(2)A是B的真子集:若A⊆B,且A≠B,,则说A是B的真子集.
特殊的集合:空集,规定空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集
若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个,A的非空真子集合有2n-2。
:交集、并集、补集.
(1)并集:A∪B={集合A与B的所有元素构成,重复的只写一次}.
(2)交集:A∩B={集合A与B的相同元素构成}.
(3)补集:∁UA={集合U中除掉集合A中的元素构成}
、充分条件与必要条件
四种命题:
原命题:若P则q;
否命题:若非P则非q,条件和结论都要否定;
逆命题:若q则p,条件和结论交换位置;
逆否命题:若非q则非p,对原命题先逆再否.
、必要条件与充要条件
(1)“若p,则q”形式的命题为真时,记作p⇒q,称p是q的充分条件,:集合A是集合B的真子集,那么集合A就是集合B的充分不必要条件,集合B就是集合A的必要不充分条件.
(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件,:集合A与集合B的相同,A就是集合B的充要条件.
、全称量词与存在量词
:“或”、“且”、“非”
(1)“或”、“且”、“非”的含义:
“或”:只要满足一个就可以,等同于集合中的“交”运算.
“且”:两个都要满足,等同于集合中的“并”运算.
“非”:,不成立的非是成立,等同于“补”运算.
p
q
p∧q
p∨q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
规律:p∨q为真命题,只需p,q有一个为真即可,p∧q为真命题,必须p,q同时为真,若P为真,则非P就假,若P为假,则非P就为真.
、全称命题与特称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”这样的词语,一般在指定的范围内都表示事物的全体,这样的词叫做全称量词,用符号“∀”表示,含有全称量词的命题,“对M中任意一个x,有p(x)成立”
(2)短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语,“∃”“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”.
命题
命题的否定
对M中任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)不成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
对M中任意一个x,有p(x)不成立
否命题、命题的否定的区别:否命题是条件和结论都要否定,命题的否定只否定结论,但是全称命题和特称命题的否定按特殊的模式:量词“存在和任意”:非p且非q;p且q的否定为非p或非q.
第二章函数和导数
函数的性质:
单调性:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,①若f(x1)<f(x2),则f(x)在区间D上是增函数;②若f(x1)>f(x2),则f(x)在区间D上是减函数.
增函数减函数
、偶函数
(1)如果对D内的任意一个x,f(-x)=-f(x),
(2)如果对D内的任意一个x,f(-x)=f(x),.
奇函数图象偶函数图象
:于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,都有f(x+T)=f(x).那么就称函数y=f(x)为周期函数,.
:
1、特殊幂函数
(1.)一次函数:y=kx+b
解析式
y=kx+b(k>0)
y=kx+b(k<0)
图象
单调性
增函数
减函数
定义域
R
R
值域
R
R
(2.)二次函数:
解析式
图象
定义域
R
R
值域
对称轴
直线
顶点
单调性
对称轴左边为减,右边为增
对称轴左边为增,右边为减
(3.)反比例函数:
解析式
图象
定义域
值域
对称性
关于原点对称
单调性
为减
为增
(1)幂函数的定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)幂函数的图象
(1)运算公式①n=a.;②当n为奇数时,=,=|a|=
(2).有理数指数幂
①正整数指数幂:an=a·a·…·(n∈N*).②零指数幂:a0=1(a≠0).
③负整数指数幂:a-p=(a≠0,p∈N*).④正分数指数幂:a=(a>0,m、n∈N*,且n>1).⑤负分数指数幂:a-==(a>0,m、n∈N*,且n>1).
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q).②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q).
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(3)指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)
底数、真数同范围对数值为正,底数、真数异范围对数值为负
增函数
减函数
(1)对数的性质
①ax=N⇔x=logaN(a>0,a≠1).;②loga1=0(a>0,a≠1);
③logaa=1(a>0,a≠1);④alogaN=N(a>0,a≠1);⑤logaam=m(a>0,a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(M·N)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).
将以10为底的对数叫常用对数,记为lgN,次e=…为底的对数叫自然对数,记作lnN.
对数函数的图像与性质
0
1
a>1
0
1
0<a<1
图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
过点(1,0),即x=1时,y=0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
函数图像变换:
平移变换
①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.
②竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到.
伸缩变换
①y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1时)缩(a<1时)到原来的a倍.
②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)缩(a>1时)到原来的.
导数
几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)上在点(x0,f(x0)),切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
若f(x)=c,则f′(x)=0;若f(x)=xn(n∈Q),则f′(x)=nxn-1;
若f(x)=sinx,则f′(x)=cos_x;若f(x)=cosx,则f′(x)=-sin_x;
若f(x)=ax,则f′(x)=axln_a(a>0且a≠1);
若f(x)=ex,则f′(x)=ex;若f(x)=logax,则f′(x)=(a>0且a≠1);
若f(x)=lnx,则f′(x)=.
若f′(x)、g′(x)存在,则有
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
(1)f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)为增函数;f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)为减函数.
(2)求函数单调区间的步骤:
①确定函数f(x)的定义域;
②求导数f′(x);
③由f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的x的范围.
当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间.
(3)导函数与原函数的区别和联系:导函数看符号,原函数对应的是单调.
(4)函数的极值
判断f(x0)是极值的方法
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.
(5)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③检查f′(x)在方程f′(x)=,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.
极值的性质:极值点处的导数值等于0.
第三章三角函数
一-任意角三角函数:
α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r>0),那么角α的正弦sinα==余弦:cosα==,
正切:tanα=
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;(2)商数关系:=tanα.
:三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
:l=|α|r,扇形面积公式:S扇形=lr=|α|r2.
:
0
sin
0
1
0
cos
1
0
0
tan
0
1
不存在
0
不存在
cot
不存在
1
0
不存在
0
二-三角公式
:与有关的函数名不变,符合看象限,与有关的函数名要变,符号看象限;
:(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ;
三角形中的诱导公式::sin(A+B)==sinC,cos(A+B)=-cosC,
sin=sin=cos,cos=cos=sin.
、余弦、正切公式
(1)cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;(2)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β;
(3)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;(4)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β;
(5)tan(α+β)=;(6)tan(α-β)=.
、余弦、正切公式
(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan2α=.
、变形等
(1)cos2α=,sin2α=;
(2)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,
sinα±cosα=sin.
(a,b,为常数),可以化为)或),如:
的最大值为,最小值为,周期为
函数
性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
R
{x|x≠kπ+,k∈Z}
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
对称性
对称轴:x=kπ+(k∈Z)
对称轴:x=kπ(k∈Z)
无对称轴
对称中心:(kπ,0)(k∈Z)
对称中心:(k∈Z)
对称中心:(k∈Z)
周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间,2kπ+(k∈Z);单调减区间,2kπ+(k∈Z)
单调增区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)单调减区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
单调增区间,kπ+(k∈Z)
奇偶性
奇
偶
奇
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
(1)用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示
x
ωx+φ
0
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
(2)函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤
法一:
法二:
重点:把平移得到,要平移个单位,当向左平移,当向左平移;函数名是cos时也一样的道理;
若平移前后的函数名不同,则用下列公式先把名变相同:
;
(3)应用
①y=Asin(ωx+φ)要为偶函数,则,y=Acos(ωx+φ)要为奇函数,则
②对于y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的函数周期为;最大值为,最小值为-