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1、向量的概念:
①向量:既有大小又有方向的量向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行
③单位向量:模为1个单位长度的向量
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量
2、向量加法:设,则+==
(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;
,但这时必须“首尾相连”.
3、向量的减法:①相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量
②向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)
4、实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ);(Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的
5、两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=
6、平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量可表示成,记作=(x,y)。
2平面向量的坐标运算:
若,则
若,则
若=(x,y),则=(x,y)
若,则
若,则
若,则
1两个向量的数量积:
已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积(或内积)规定
2向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义:·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:
5乘法公式成立:
;
6平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:
②对实数的结合律成立:
③分配律成立:
特别注意:(1)结合律不成立:;
(2)消去律不成立不能得到
(3)=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量,则·=
8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=,=,则∠AOB=()叫做向量与的夹角
cos==
当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件:
⊥·=O平面向量数量积的性质
【练习题】
1、给出下列命题:
①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中假命题的个数为( )
,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=,假命题的个数是( )
3、设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
4、已知两点A(4,1),B(7,-3),则与同向的单位向量是( )
A. B.
C. D.
5、在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,=λ+μ,则λ+μ的值为( )
A. B.
C.
6、已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.
7、已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,a+b+c=0,则a与c的夹角为( )
° °
° °
8、已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.
9、设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,a·(a-b)=0,则|2a+b|=( )
10、已知向量a=(sinx,1),b=.
(1)当a⊥b时,求|a+b|的值;
(2)求函数f(x)=a·(b-a)的最小正周期.
11、已知f(x)=a·b,其中a=(2cosx,-sin2x),b=(cosx,1)(x∈R).
(1)求f(x)的周期和单调递减区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(A)=-1,a=,·=3,求边长b和c的值(b>c).
A
O
M
N
P
B
12、如图,在中,a,b,M为OB的中点,N为AB的中点,P为ON、AM的交点,则等()
AabBab
CabDab
13.△ABC中,AB边的高为CD,若=a,=b,a·b=0,
|a|=1,|b|=2,则=( )
-b -b
-b -b
14.(2012·郑州质检)若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则9x+3y的最小值为( )
15.(2012·山西省四校联考)在△OAB(O为原点)中,=(2cosα,2sinα),=(5cosβ,5sinβ),若·=-5,则△OAB的面积S=( )
A. B.
D.
16、若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( ).
A.-
17、已知△ABC为等边三角形,AB=,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=( ).
.
18如图,已知平行四边形ABCD的顶点A(0,0),B(4,1),C(6,8).
(1)求顶点D的坐标;
(2)若=2,F为AD的中点,求AE与BF的交点I的坐标.
.
【课后练习题】
:①0a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0a;⑤a-b=a+(-b).正确的个数是( )
解析:选C
2.(2012·福州模拟)若a+b+c=0,则a,b,c( )
解析:选A
3.(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O,A,B,+2=3,则的值为( )
A. B.
C. D.
解析:选A
4.(2012·海淀期末)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
(靠近B),那么=( )
A.- B.+
C.+ D.-
解析:选D
5.(2013·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于( )
° °
° °
解析:选A
△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足++=,则点P与△ABC的关系为( )
△ABC内部
△ABC外部
解析:选D
7.(2012·郑州五校联考)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,|+|=|-|,则||=________.
答案:2
8.(2013·大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式+=+,则四边形ABCD的形状为________.
答案:平行四边形
,e2不共线,=3(e1+e2),=e2-e1,=2e1+e2,给出下列结论:①A,B,C共线;②A,B,D共线;③B,C,D共线;④A,C,D共线,其中所有正确结论的序号为________.
答案:④
,j分别是平面直角坐标系Ox,Oy正方向上的单位向量,且=-2i+mj,=ni+j,=5i-j,若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,求实数m,n的值.
或
=,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x=________.
答案:4
={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于________.
答案:
=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.
答案:k≠1
(1,1),B(3,-1),C(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式;
(2)若=2,求点C的坐标.
(5,-3).
=(1,0),b=(2,1).求:
(1)|a+3b|;
(2)当k为何实数时,ka-b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向?
方向相反.
,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;
(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.
,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.
答案:3
=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为________.
答案:8
=(1,2),b=(-2,n),a与b的夹角是45°.
(1)求b;
(2)若c与b同向,且a与c-a垂直,求c.
c=b=(-1,3).
|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.
(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|;
(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.
=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=.
(1)求证:向量a+b与a-b垂直;
(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.
α=30°或α=210°.