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——北雁友情提供
函数:
绝对值得性质:
(1)|a+b||a|+|b| (2)|a-b||a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)||=
函数的表示方法:
(1)表格法 (2)图示法 (3)公式法(解析法)
函数的几种性质:
(1)函数的有界性(2)函数的单调性
(3)函数的奇偶性(4)函数的周期性
反函数:
定理:如果函数在区间[a,b]上是单调的,则它的反函数存在,且是单值、单调的。
基本初等函数:
(1)幂函数 (2)指数函数
(3)对数函数 (4)三角函数
(5)反三角函数
复合函数的应用
极限与连续性:
数列的极限:
定义:设是一个数列,a是一个定数。如果对于任意给定的正数(不管它多么小),总存在正整数N,使得对于n>N的一切,不等式都成立,则称数a是数列的极限,或称数列收敛于a,记做,或()
收敛数列的有界性:
定理:如果数列收敛,则数列一定有界
推论:(1)无界一定发散(2)收敛一定有界(3)有界命题不一定收敛
函数的极限:
定义及几何定义(略见书37页)。
函数极限的性质:
(1)同号性定理:如果,而且A>0(或A<0),则必存在的某一邻域,当x在该邻域内(点可除外),有(或)。
(2)如果,且在的某一邻域内(),恒有(或),则()。
(3)如果存在,则极限值是唯一的
(4)如果存在,则在在点的某一邻域内()是有界的。
无穷小与无穷大:
注意:无穷小不是一个很小的数,而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小的唯一的常数,因为如果则对任给的,总有,即常数零满足无穷小的定义。除此之外,任何无论多么小的数,都不满足无穷小的定义,都不是无穷小。
无穷小与无穷大之间的关系:
(1)如果函数为无穷大,则为无穷小
(2)如果函数为无穷小,且,则为无穷大
具有极限的函数与无穷小的关系:
(1)具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和
(2)如果函数可表为常数与无穷小的和,则该常数就是函数的极限
关于无穷小的几个性质:
定理:
(1)有限个无穷小的代数和也是无穷小
(2)有界函数与无穷小a的乘积是无穷小
推论:
(1)常数与无穷小的乘积是无穷小
(2)有限个无穷小的乘积是无穷小
极限的四则运算法则:
定理:两个函数、的代数和的极限等于它们的极限的代数和
两个函数、乘积的极限等于它们的极限的乘积
极限存在准则与两个重要极限:
准则一(夹挤定理)
设函数、、在的某个邻域内(点可除外)满足条件:
(1)
(2),
则
准则二 单调有界数列必有极限
定理:如果单调数列有界,则它的极限必存在
重要极限:
(1) (2)
(3)或
无穷小阶的定义:
设为同一过程的两个无穷小。
(1)如果,则称是比高阶的无穷小,记做
(2)如果,则称是比低阶的无穷小
(3)如果,则称与是同阶无穷小
(4)如果,则称与是等阶无穷小,记做
几种等价无穷小:
对数函数中常用的等价无穷小:
时,
三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小:
时,
指数函数中常用的等价无穷小:
时,
二项式中常用的等价无穷小:
时,
函数在某一点处连续的条件:
由连续定义可知,函数在点处连续必须同时满足下列三个条件:
(1)在点处有定义
(2)当时,的极限存在
(3)极限值等于函数在点处的函数值
极限与连续的关系:
如果函数在点处连续,由连续定义可知,当时,的极限一定存在,反之,则不一定成立
函数的间断点:
分类:第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在)
连续函数的和、差、积、商的连续性:
定理:如果函数、在点处连续,则他们的和、差、积、商(分母不为零)在点也连续
反函数的连续性:
定理:如果函数在某区间上是单调增(或单调减)的连续函数,则它的反函数也在对应的区间上是单调增(或单调减)的连续函数
最大值与最小值定理:
定理:设函数在闭区间上连续,则函数在闭区间上必有最大值和最小值
推论:如果函数在闭区间上连续,则在上有界
介值定理:
定理:设函数在闭区间上连续,两端点处的函数值分别为,而是介于A与B之间的任一值,则在开区间内至少有一点,使得
推论(1):在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值
推论(2):设函数在闭区间上连续,且(两端点的函数值异号),则在的内部,至少存在一点,使
导数与微分
导数:
定义:
导数的几何定义:函数在图形上表示为切线的斜率
函数可导性与连续性之间的表示:
如果函数在x处可导,则在点x处连续,也即函数在点x处连续
一个数在某一点连续,它却不一定在该点可导
据导数的定义求导:
(1)
(2)
(3)
基本初等函数的导数公式:
(1)常数导数为零
(2)幂函数的导数公式
(3)三角函数的导数公式
(4)对数函数的导数公式:
(5)指数函数的导数公式:
(6)
(7)反三角函数的导数公式:
函数和、差、积、商的求导法则:
法则一(具体内容见书106)
函数乘积的求导法则:
法则二(具体内容见书108)
函数商的求导法则:
法则三(具体内容见书109)
复合函数的求导法则:(定理见书113页)
反函数的求导法则:
反函数的导数等于直接函数导数的倒数
基本初等函数的导数公式:(见书121页)
高阶导数:二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
求n阶导数:(不完全归纳法)
隐函数的导数:(见书126页)
对隐函数求导时,首先将方程两端同时对自变量求导,但方程中的y是x的函数,它的导数用记号(或表示)
对数求导法:先取对数,后求导(幂指函数)
由参数方程所确定的函数的导数:
微分概念:
函数可微的条件(见书133页)
如果函数在点可微,则在点一定可导
函数在点可微的必要充分条件是函数在点可导
函数的微分dy是函数的增量的线性主部(当),从而,当很小时,有
通常把自变量x的增量称为自变量的微分,记做dx。即于是函数的微分可记为,从而有
基本初等函数的微分公式:(见书136页)
几个常用的近似公式:
(x用弧度) (x用弧度)
中值定理与导数应用
罗尔定理:如果函数满足下列条件
(1)在闭区间上连续
(2)在开区间内具有导数
(3)在端点处函数值相等,即,则在内至少有一点,使
拉格朗日中值定理:如果函数满足下列条件
(1)在闭区间上连续
(2)在开区间内具有导数,则在内至少有一点,使得
定理几何意义是:如果连续曲线上的弧除端点处外处处具有不垂直于x轴的切线,那么,在这弧上至少有一点c,使曲线在点c的切线平行于弧
推论:如果函数在区间内的导数恒为零,那么在内是一个常数
柯西中值定理:如果函数与满足下列条件
(1)在闭区间上连续
(2)在开区间内具有导数
(3)在内的每一点处均不为零,则在内至少有一点使得
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广
罗比达法则:(理论根据是柯西中值定理)
未定式
1、情形
定理:如果(1)当时,与都趋于零
(2)在点a的某领域(点a可除外)内,与都存在且
(3)存在(或为),则极限存在(或为),且=
在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为罗比达法则
2、情形
推论:如果(1)当时,与都趋于零
(2)当|x|>N时,与都存在且
(3)存在(或为),则极限存在(或为),且=
未定式
1、情形
如果(1)时,与都趋于无穷大
(2)在点a的某领域(点a可除外)内,与都存在且
(3)存在(或为),则则极限存在(或为),且=
2、情形
推论:如果(1)时,与都趋于无穷大
(2)当|x|>N时,与都存在且
(3)存在(或为),则则极限存在(或为),且=
注意:1、罗比达法则仅适用于型及型未定式
2、当不存在时,不能断定不存在,此时不能应用罗比达法则
泰勒公式(略)
迈克劳林公式(略)
函数单调性的判别法:
必要条件:设函数在上连续,在内具有导数,如果在上单调增加(减少),则在内,()
充分条件:设函数在上连续,在内具有导数,
(1)如果在内,,则在上单调增加
(2)如果在内,,则在上单调减少
函数的极值及其求法
极值定义(见书176页)
极值存在的充分必要条件
必要条件:设函数在点处具有导数,且在点处取得极值,则
函数的极值点一定是驻点
导数不存在也可能成为极值点
驻点:使的点,称为函数的驻点
充分条件(第一):设连续函数在点的一个邻域(点可除外)内具有导数,当x由小增大经过时,如果
(1)由正变负,则是极大点
(2)由负变正,则是极小点
(3)不变号,则不是极值点
充分条件(第二):设函数在点处具有二阶导数,且,
(1)如果,则在点处取得极大值
(2)如果,则在点处取得极小值
函数的最大值和最小值(略)
曲线的凹凸性与拐点:
定义:设在上连续,如果对于上的任意两点、恒有,则称在上的图形是(向上)凹的,反之,图形是(向上)凸的。
判别法:
定理:设函数在上连续,在内具有二阶导数
(1)如果在内,那么的图形在上是凹的
(2)如果在内,那么的图形在上是凸的
拐点:凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。
不定积分
原函数:如果在某一区间上,函数与满足关系式:
或,则称在这个区间上,函数是函数的一个原函数
结论:如果函数在某区间上连续,则在这个区间上必有原函数
定理:如果函数是的原函数,则(C为任意常数)也是的原函数,且的任一个原函数与相差为一个常数
不定积分的定义:
定义:函数的全体原函数称为的不定积分,记做
不定积分的性质:
性质一:或
及或
性质二:有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即
性质三:被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即
(k为常数,且k0
基本积分表:(同课本211页)
(1)(k是常数) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
(13)
第一类换元法(凑微分法)
第二类换元法:变量代换
被积函数若函数有无理式,一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式
基本积分表添加公式:
结论:
如果被积函数含有,则进行变量代换化去根式
如果被积函数含有,则进行变量代换化去根式
如果被积函数含有,则进行变量代换化去根式
分部积分法:
对应于两个函数乘积的微分法,可推另一种基本微分法---------分部积分法
分部积分公式
1、如果被积函数是幂函数与的积,可以利用分部积分法
令u等于幂函数
2、如果被积函数是幂函数与的积,可使用分部积分法
令u=
3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积,也可用分部积分法。
定积分
定积分的定义(见课本251页)
定理:如果函数在上连续,则在上可积
定理:如果函数在上只有有限个第一类间断点,则在上可积
定积分的几何意义:
1、在上,这时的值在几何上表示由曲线、x轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积
2、在上,其表示曲边梯形面积的负值
3、在上,既取得正值又取得负值
几何上表示由曲线、x轴及二直线x=a、x=b所围成平面图形位于x轴上方部分的面积减去x轴下方部分的面积
定积分的性质:
性质一、函数和(差)的定积分等于他们的定积分的和(差),即
性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面,即
(k是常数)
性质三、如果将区间分成两部分和,那么
、
性质四、如果在上,,那么
性质五、如果在上,,那么
性质六、如果在上,,那么
性质七、设M及m,分别是函数在区间上的最大值及最小值,则
m(b-a)M(b-a) (a<b) ……估值定理
性质八、积分中值定理
如果函数在闭区间上连续,那么在积分区间上至少有一点,使得
微积分基本公式
积分上限的函数: (axb)
性质:如果函数在区间上连续,那么积分上限的函数在上具有导数,且
定理:在区间上的连续函数的原函数一定存在
牛顿——莱布尼茨公式
如果函数在区间上连续,且是的任意一个原函数,那么
定积分的换元法
假设(1)函数在区间上连续;
(2)函数在区间上单值,且具有连续导数;
(3)当t在区间上变化时,的值在上变化,且,,则有定积分的换元公式
设在区间上连续,则
(1)如果函数为奇函数,则
(2)如果函数为偶函数,则
定积分的分部积分法
设、在上具有连续导数、,那么,在等式的两边分别求a到b的定积分得 ……定积分的分部积分公式
即 或
无穷区间上的广义积分
定义:设函数在区间上连续,取b>a,如果极限存在,则称此极限为函数在区间上的广义积分,记做即
无界函数的广义积分(见书279页)
定积分的应用(见书286页)
元素法 在极坐标系中的计算法(见书291页)