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目标认知:
考试大纲要求:
;了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题,分析四种命题相互关系.
、充分条件与充要条件的意义.
;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
重点:充分条件与必要条件的判定
难点:根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。
知识要点梳理:
知识点一:命题:
:
一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题.
(1),如p,q,r,m,n等.
(2)命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,、公理、定理
等都是真命题
(3)命题“”的真假判定方式:
①若要判断命题“”是一个真命题,需要严格的逻辑推理;有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如:一定推出.
②若要判断命题“”是一个假命题,只需要找到一个反例即可.
注意:“不一定等于3”不能判定真假,它不是命题.
:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.
(2)复合命题的构成形式:
①p或q;②p且q;③非p(即命题p的否定).
(3)复合命题的真假判断(利用真值表):
非
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
①当p、q同时为假时,“p或q”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”;
②当p、q同时为真时,“p且q”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假”。
③“非p”与p的真假相反.
注意:
(1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义,以“p或q”为例:一是p成立
且q不成立,二是p不成立但q成立,三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.
(2)“或”、“且”联结的命题的否定形式:
“p或q”的否定是“p且q”;“p且q”的否定是“p或q”.
(3)对命题的否定只是否定命题的结论;否命题,既否定题设,又否定结论。
典型例题
,若是,判断出其真假,若不是,说明理由。
(1)矩形难道不是平行四边形吗?
(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
(3)求证:,方程无实根.
(4)
(5)人类在2020年登上火星.
2(江西卷)下列命题是真命题的为()
,则 ,则
,,则
3(广东)已知命题所有有理数都是实数,命题正数的对数都是负数,
则下列命题中为真命题的是()
A. B. C. D.
4(北京)若是真命题,是假命题,则()
(A)是真命题(B)是假命题
(C)是真命题(D)是真命题
知识点二:四种命题
:
用p和q分别表示原命题的条件和结论,用p和q分别表示p和q的否定,则四种命题的形式为:
原命题:若p则q;逆命题:若q则p;
否命题:若p则q;逆否命题:若q则p.
:
①,是命题转化的依据和途径之一.
②逆命题否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
四种命题及其关系:
关于逆命题、否命题、逆否命题,也可以有如下表述:
第一:交换原命题的条件和结论,所得的命题为逆命题;
第二:同时否定原命题的条件和结论,所得的命题为否命题;
第三:交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题为逆否命题;
“若或,则”的逆命题、否命题、逆否命题及
命题的否定,并判其真假。
解:逆命题:若,则或,是真命题;
否命题:若且,则,是真命题;
逆否命题:若,则且,是真命题。
命题的否定:若或,则,是假命题。
知识点三:充分条件与必要条件:
:
对于“若p则q”形式的命题:
①若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
②若pq,但qp,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;
③若既有pq,又有qp,记作pq,则p是q的充分必要条件(充要条件).
:
(1)在判断充分条件与必要条件时,首先要分清哪是条件,哪是结论;然后用条件推结论,
再用结论推条件,最后进行判断.
(2)充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.
“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.
(1)定义法:
(2)等价法:由于原命题与它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,因此,如果原
命题与逆命题真假不好判断时,
与;与;与的等价关系,对于
条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断,比如AB可判断为AB;A=B可判断为AB,且
BA,即AB.
如图:
“”“,且”是的充分不必要条件.
“”“”是的充分必要条件.
6(2011安徽)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()
(A)p:>b+d,q:>b且c>d
(B)p:a>1,b>1q:的图像不过第二象限
(C)p:x=1,q:
(D)p:a>1,q:在上为增函数
7(2011全国大纲)使成立的充分而不必要的条件是()
(A)(B)(C)(D)
8(2011福建).若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的()
9(2012江西)“”是“”的()
知识点四:全称量词与存在量词:
:
全称量词及表示:表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常用符号“”表示,读作“对任意”。含有全称量词的命题,叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立
”可表示为“”,其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题.
(II)存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”,“存在一个”,
“至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号“”表示,读作“存在”。含有
存在量词的命题,叫做特称命题 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可表示
为“”,其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题.
:
(I)对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p:,他的否定:全称命题的否定是特称命题。
(II)对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p:,他的否定:特称命题的否定是全称命题。
注意:
(1)(否定一
次),而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。
(2)一些常见的词的否定:
正面词
等于
大于
小于
是
都是
一定是
至少一个
至多一个
否定词
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
一定不是
一个也没有
至少两个
规律方法指导:
,首先要理解命题及相关概念,特别是互为逆否命题的真
假性一致.
.
“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的,将二
者相互对照可加深认识和理解.
,首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明,必须证明充分
性,又要证明必要性;判断充要条件一般有三种方法:用集合的观点、用定义和利用命
题的等价性;求充要条件的思路是:先求必要条件,再证明这个必要条件是充分条件.
。
总结升华:
:
①确定复合命题的构成形式;
②判断其中简单命题p和q的真假;
③根据规定(或真假表)判断复合命题的真假.
“或”是“或”的关系,否定时要注意.
类型二:四种命题及其关系:
“已知是实数,若ab=0,则a=0或b=0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假。
解析:逆命题:已知是实数,若a=0或b=0,则ab=0,真命题;
否命题:已知是实数,若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题;
逆否命题:已知是实数,若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题。
总结升华:
1.“已知是实数”为命题的大前提,写命题时不应该忽略;
;
.
类型三:全称命题与特称命题真假的判断:
总结升华:
,必须对限定的集合M中每一个元素,验证成立;
要判断全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个,使不成立可;
,依据:只要在限定集合M中,至少能找到一个,使
成立,则这个特称命题就是真命题,否则就是假命题.
类型四:充要条件的判断:
总结升华:
、必要条件问题时,首先要分清条件与结论;
,要重视等价关系转换,特别是与关系.
类型五:求参数的取值范围:
总结升华:由p或q为真,知p、q必有其一为真,由p且q为假,知p、q必有一个为假,所以,“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件,再分类讨论.
:,q:,若p是q的一个充分不必要条件,求m的取值范围.
:关于x的不等式对任意恒成立;
命题q:函数在R上递增
若为真,而为假,求实数的取值范围。
总结升华:从认知已知条件切入,将四种命题或充要条件问题向集合问题转化,是解决这类问题的基本策略。
类型六:证明:
总结升华:
利用反证法证明时,首先正确地作出反设(否定结论).从这个假设出发,经过推理论证,
得出矛盾,从而假设不正确,原命题成立,反证法一般适宜结论本身以否定形式出现,
或以“至多…”、“至少…”形式出现,或关于唯一性、存在性问题,或者结论的反面是
比原命题更具体更容易研究的命题.
,注意区别命题的否定与否命题.
总结升华:
,既要证明充分性,又要证明必要性,所以必须分清条件是什
么,结论是什么。
:由条件结论;必要性:由结论条件.
叙述方式的变化(比如是的充分不必要条件”等价于“的充分不必要要条件是”).
课后加油站
1.(2008年湖北卷2)若非空集合满足,且不是的子集,
则 ()
A.“”是“”的充分条件但不是必要条件
B.“”是“”的必要条件但不是充分条件
C.“”是“”的充要条件
D.“”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件
答案B
2.(2008年湖南卷2)“成立”是“成立”的 ()
答案B
3.(2007全国Ⅰ)设,是定义在R上的函数,,则“,
均为偶函数”是“为偶函数”的 ()
答案B
4.(2007宁夏)已知命题:,则 ()
A. B.
.
答案C
5.(2007重庆)命题:“若,则”的逆否命题是 ()
,则 ,则
,则 ,则
答案D
6.(2007山东)命题“对任意的”的否定是()
答案C
7.(2006年天津卷)设集合,,那么“”是“”的 ()
答案B
8.(2006年山东卷)设p:x-x-20>0,q:<0,则p是q的()
答案A
解析p:x-x-20>0Ûx>5或x<-4,q:<0Ûx<-2或-1<x<1或x>2,借助图形知选A.
9.(2005年北京卷)(2)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0
相互垂直”的 ()
答案B
10.(2005年湖北卷)对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“”是“”充要条件; ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是 ()
答案B