文档介绍：该【高中数学知识点 (5) 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【31】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学知识点 (5) 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第一章集合与函数概念
一、集合
1、集合的含义与表示
一般地,我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母A,B,C,D,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示元素。
⑴确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如,“中国的直辖市”构成一个集合,北京、上海、天津、重庆在这个集合中,杭州、南京、广州……不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合;因为组成它的元素是不确定的。
⑵互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的),即,集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元素,不论多少,只能算作该集合的一个元素。
⑶无序性:不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同,就认为是同一个集合。
3、集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。
4、元素与集合的关系
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作aA。
5、常见的数集及记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N;所有正整数组成的集合称为正整数集(在自然数集中排除0的集合),记N*或N+;全体整数组成的集合称为整数集,记Z;全体有理数组成的集合称为有理数集,记Q;全体实数组成的集合称为实数集,记R。
拓展与提示:⑴无序性常常作为计算时验证的重要依据。
⑵注意N与N*的区别。N*为正整数集,而N为非负整数集,即0∈N但0N*。
⑶集合的分类按元素个数
按元素的特征可分为:数集,点集,形集等等。
特别地,至少有一个元素的集合叫做非空集合;不含有任何元素的集合叫做空集(),只含有一个元素的集合叫做单元素集。
例 已知
解析 ① ②
解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。
解②得x=-1或1(舍去)
这时y=0
∴x=-1,y=0
6、集合的表示方法
⑴列举法:把集合中的所有元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件:有限集或有规律的无限集,形式:
⑵描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围;再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件:一般适合于无限集,有时也可以是有限集。形式:,其中x为元素,p(x)表示特征。
拓展与提示:如果集合中的元素的范围已经很明确,那么x∈D可以省略,只写其元素x,如可以表示为。
(3)韦恩图法:把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。
例用适当的方法表示下列集合,并指出它是有限集还是无限集:
⑴由所有非负奇数组成的集合;
⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合;
⑶方程x2+x+1=0的实数根组成的集合。
解:⑴由所有非负奇数组成的集合可表示为:,无限集。
⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为:,无限集。
⑶方程x2+x+1=0的判别式的Δ<0,故无实数,方程x2+x+1=0的实根组成的集合是空集。
7、集合的基本关系
⑴子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个无素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作,读作“A含于B”(或“B包含A”)。可简述为:若,则集合A是集合B的子集。
⑵集合相等:如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B。
数学表述法可描述为:对于集合A、B,若,且,则集合A、B相等。
⑶真子集:如果集合,但存在元素,且,我们称集合A是集合B的真子集,记作或说:若集合,且A≠B,则集合A是集合B的真子集。
⑷空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为,并规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
拓展与提示:(1)。(2)B(其中B为非空集合)(3)对于集合A,B,C,若。(4)对于集合A,B,C,若,C则C(5)对于集合A,B,若。(6)含n元素的集合的全部子集个数为2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个。(7)不同,前者为包含关系,后者为属于关系。
8、集合间的基本运算
拓展与提示:对于任意集合A、B,有(1)(2);
(3);(4)。
⑴并集:一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B”),即
拓展与提示:对于任意集合A、B,有(1)(2);
(3);(4);(5)。
⑵交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作(读作“A交B”),即。
⑶全集与补集
①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U。
②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作。
例设集合,若A∩B=,求A∪B。
解析由A∩B=得,9∈A。
∴x2=9或2x-1=9
①由x2=9得,x=±3。当x=3时,,与元素的互异性矛盾。
当x=-3时,,此时,
②由2x-1=9得x=5.
当x=5时,,此时,,与题设矛盾。
综上所述,
⑷集合中元素的个数:
在研究集合时,经常遇到有关集合元素的个数问题,我们把含有限个元素的集合A叫做有限集,用card来表示有限集合A中元素的个数。例如:.
一般地,对任意两个有限集A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
当时仅当A∩B=时,card(A∪B)=card(A)+card(B).
解与集合中元素个数有关的问题时,常用venn图。
例学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参赛,两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛?
解:设,,那么
,
Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
=8+12-3=17
答:两次运动会中,这个班共有17名同学参赛
二、函数及其表示
1、函数的概念:一般地,我们说:
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集。
2、函数的三要素
⑴函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。
⑵由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。
提示:⑴函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。
(2)注意区别f(a)和f(x),f(x)是指函数解析式,f(a)是指自变量为a时的函数值。
3、区间:
设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b];
⑵满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b);
⑶满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
[a,b]
开区间
(a,b)
半开半闭区间
半开半闭区间
实数集常用区间表示为,“∞”读作“无穷大”。“”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”
集合
符号
数轴表示
拓展与提示:(1)在数轴上,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。
(2)求函数定义域,主要通过下列途径实现。
①若f(x)是整式,则定义域为R;
②若f(x)为分式,则定义域为使分母不为零的全体实数;
③若f(x)为偶次根式,则定义域为使被开方数为非负数的全体实数;
④若f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域是a≤g(x)≤b的解集;
⑤若f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域是g(x)在下的值域。
例1求下列函数的定义域
解:要使有意义,则必须
,即x≥-1且x≠2,
故所求函数的定义域为
例2⑴已知函数f(x)的定义域是[-1,3],求f(x+1)和f(x2)的定义域
⑵已知函数f(2x+3)的定义域为,求f(x-1)的定义域
解:⑴∵f(x)的定义域为[-1,3],
∴f(x+1)的定义域由-1≤x+1≤3确定,即-2≤x≤2,
∴f(x+1)的定义域为[-2,2].
f(x2)的定义域由-1≤x2≤3确定,即
∴f(x2)的定义域为[]
⑵∵函数f(2x+3)的定义域为,
∴2x+3中的x满足-1<x≤2,
∴1<2x+3≤7.
令t=2x+3,则f(t)的定义域为.
又1<x-1≤7,∴2<x≤8
∴f(x-1)的定义域为
4、反函数
式子y=f(x)表示y是自变量x的函数,设它的定义域为A,值域为C,我们从式子y=f(x)中解出x得到x=g(y),如果对于y在C中的任何一个值通过式子x=g(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x=g(y)表示y是自变量x的函数,这样的函数x=g(y)叫做y=f(x)的反函数,记作,一般写成.
拓展与提示:(1)函数y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域;
(2)函数y=f(x)的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称。
5、函数的三种表示法
解析法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系。
列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
(1)函数用列表法表示时,其定义域是表中自变量所取值的全体,其值域是表中对应函数值的全体。
(2)函数用图象法表示时,其定义域是图象投射到x轴上的区域范围,其值域是图象投射到y轴上的区域范围。
6、分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应关系不同,可用几个式子来表示函数,这种形式的函数叫分段函数,它是一类重要函数,形式是:
分段函数是一个函数,而不是几个函数,对于分段函数必须分段处理,其定义域为D1∪D2∪…∪Dn.
拓展与提示:分段函数中,分段函数的定义域的交集为空集。
例***通信已于2006年3月21日开始在所属18个省、市移动公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”,这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法,具体方案如下:
方案代号
基本月租(元)
免费时间(分钟)
超过免费时间话费(元/分钟)
1
30
48
2
98
170
3
168
330
4
268
600
5
388
1000
请问:“套餐”中第3种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式。
解:“套餐”中第3种收费函数为
7、复合函数
若y是u的函数,u又是x的函数,即y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y关于x的函数y=f[g(x)],x∈(a,b)叫做f和g的复合函数,u叫做中间变量,u的取值范围是g(x)的值域。
8、映射
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任何一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
拓展与提示:(1)映射包括集合A、B以及从A到B的对应法则f,三者缺一不可,且A、B必须非空。
(2)A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它对应,而B中的元素却不一定在A中找到对应元素,即使有,也不一定只有一个。
9、函数解析式的求法
⑴待定系数法。若已知函数类型,可设出所求函数的解析式,然后利用已知条件列方程或方程组,再求系数。
⑵换元法。若已知函数的解析式,可令,并由此求出x=g(t),然后代入解析式求得y=f(t)的解析式,要注意t的取值范围为所求函数的定义域。
⑶赋值法:可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。
⑷列方程(组)法求解。若所给式子中含有f(x),或f(x),f(-x)等形式,可考虑构造另一个方程,通过解方程组获解。
⑸配凑法
例解答下列各题:
⑴已知f(x)=x2-4x+3,求f(x+1);
⑵已知f(x+1)=x2-2x,求f(x);
⑶已知二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,图象过原点,求g(x)。
解:⑴f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x
⑵方法一:(配凑法)
f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2-4(x+1)+3,
∴f(x)=x2-4x+3
方法二:(换元法)令x+1=t,则x=t-1,