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一、考纲要求
,熟悉运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式.
,掌握过两点的直线的斜率的公式,熟练掌握直线方程的点斜式,掌握直线方程的斜截式、两点式、.
.
二、知识结构
一条有向线段的长度,连同表示它的方向的正负号,的数量用AB表示.
若有向线段在数轴上的坐标为A(x1),B(x2),则
它的数量AB=x2-x1
它的长度|AB|=|x2-x1|
平面上两点间的距离设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是坐标平面上的任意两点,则它们的距离
|P1P2|=
当P1P2⊥Ox轴时,|P1P2|=|y2-y1|;当P1P2⊥Oy轴时,|P1P2|=|x2-x1|;点P(x,y)到原点O的距离,|OP|=.
三角形的中线长公式
如图,AO是△|AB|2+|AC|2
=2[|AO|2+|OC|2]
有向直线l上的一点P,把l上的有向线段分成两条有向线段分成两条有向线段,则和的数量之比
λ=
定比分点公式若P1、P2两点坐标为(x,y1),(x2,y2),点P(x,y)分有向线段成定比
λ=(λ≠-1),
则P点坐标
x=,y=.
(1).中点公式设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2的中点P(x,y)的坐标是
x=,y=.
(2)三角形的重心公式若△ABC的各顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G(x,y)的坐标是
x=,y=.
直线方程的几种形式
名称
已知条件
方程
说明
斜截式
斜率k
纵截距b
y=kx+bx
不包括y轴和平行于y轴的直线
点斜式
点P1(x1,y1)
斜率k
y-y1=k(x-x1)
不包括y轴和平行于y轴的直线
两点式
点P1(x1,y1)
和P2(x2,y2)
=
不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线
截距式
横截距a
纵坐标b
+=1
不包括坐标轴,平行于坐标轴和原点的直线
一般式
—
Ax+By+C=0
A、B不同时为0
两条直线的位置关系
直
线
方
程
位
置
关
系
当直线不平行于坐标轴时:
l1∶y=k1x+b1
l2∶y=k2x+b2
l1∶A1x+B1y+C1=0
l2∶A2x+B2y+C2=0
l1与l2组成的方程组
平行
k1=k2且b1≠b2
=≠
无解
重合
k1=k2且b1=b2
==
有无数多解
相交
k1≠k2
=
有唯一解
垂直
k1·k2=-1
A1A2+B1B2=0
两条直线的交角公式
(1)直线l1到l2的角直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角.
计算公式
设直线l1,l2的斜率分别是k1,k2,则
tgθ=(k1k2≠-1)
(2)两条直线的夹角一条直线到另一条直线的角小于直角的角,即两条直线所成的锐角叫做两条直线所成的角,:tgθ=
点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上的充要条件是
Ax0+By0+C=0.
点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是
d=
据此可推出:
(1)两平行线间的距离公式
两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为
d=.
直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线,由中点坐标公式可得
直线Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)的对称直线方程是
A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0
即Ax+By-(2Ax0+2By0+C)=0.
“直线关于直线”对称
(1)几种特殊位置的对称
已知曲线f(x,y)=0,则它:
①关于x轴对称的曲线是f(x,-y)=0;
②关于y轴对称的曲线是f(-x,y)=0;
③关于原点对称的曲线是f(-x,-y)=0;
④关于直线y=x对称的曲线f(y,x)=0;
⑤关于直线线y=-x对称的曲线
f(-y,-x)=0;
⑥关于直线x=a对称的曲线是
f(2a-x,y)=0;
⑦关于直线y=b对称的曲线是
f(x,2b-y)=0
三、知识点、能力点提示
(一)有向线段、两点间距离、线段的定比分点
例1在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠BAC平分线的长.
解:由两点距离公式求得│AB│=5,│AC│=10,设角平分线交BC于D(x,y),由角平分线性质得λ===,从而求得D(,),故可得│AD│=.
(二)直线方程,直线的斜率,直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,直线方程的一般形式
例2一直线过点P(-3,4)且在两坐标轴上的截距相等,求此直线方程.
解:设截距a=b且均不为零,故可设所求直线方程为+=,解得a=1,∴所求直线方程为x+y-1=,即a=b=0,直线过原点时也合题意,此时直线方程为4x+3y=,以防漏解.
(三)两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角,两条直线的交点,点到直线的距离
说明这部分内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考查到.
使用公式求l1到l2的角时,应注意k1、.
例3光线由点(-1,4)射出,遇直线2x+3y-6=0被反射,已知反射光线过点(3,).求反射光线所在直线方程.
解:设(-1,4)点关于已知直线对称点为(x′,y′).
则点(-1,4)与点(x′,y′)的连线段被已知直线垂直平分,故可得
=x′=-
解得
2()+3()-6=0y′=
,再由两点式可得所求直线方程为13x-26y+85=0.
(四)综合例题赏析
例4如果A·C<0且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过()
解:∵A·C<0,B·C<0
∴A≠0,B≠0,C≠0,
∴Ax+By+C=0可化y=-x-.
∵B·C<0<0->0,
∴直线和y轴正半轴有交点.
∵A·C<0,即A和C异号,B·C<0即B和C异号,
∴A和B同号>0-<0,
从而直线Ax+By+C=0过第一、二、四象限,不过第三象限.
应选C.
例5和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是()
+4y-5=+4y+5=0
C.-3x+4y-5=0D.-3x+4y+5=0
解:若曲线c的方程f(x,y)=0,曲线c和c′关于x轴对称,则曲线c′的方程是f(x,-y)=0.
∴3x-4(-y)+5=0即3x+4y+5=0为所求.
应选B.
例6直线bx+ay=ab(a<0,b<0=的倾斜角是()
(-)(-)
--arctg
解:直线的倾角范围是[0,π].
由a<0,b<0知a≠0,故原方程可化为y=-x+b.
设此直线的倾角为α,则tgα=-.
由a<0且b<0>0-<0,
∴a∈(,π).
∴α=π-arctg,
应选C.
例7若三点P1,P2在一条直线上,点P1和点P2在直角坐标系中的坐标分别为(0,-6)和(3,0),且=-,则点P的坐标是_________.
解:若P1(x1,y1),P2(x2,y2)和P(x,y)三点在一条直线上,且λ=,则
x=,y=,
由题设知,x1=0,y1=6,x2=3,y2=0,λ=,代入上面公式,得
x===-3,
y=
∴P点坐标是(-3,-12).
例8通过点(0,2)且倾斜角为15°的直线方程是()
=(-2)x+=(-1)x+2
=(2-)x+=(-1)x+2
解:∵直线通过点(0,2).
∴直线在y轴上的截距b=2.
∵直线的倾角为15°,
∴直线的斜率k=tg15°=
把k=2-,b=2代入直线的斜截式方程y=kx+b,得y=(2-)x+2.
应选C.
例9直线3x-2y=6在y轴上的截距是()
.-2C.-
解:∵3x-2y=6y=-+=1,
又直线的截距为
∴b=-3,即在y轴上的截距为-3.
应选C.
例10如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=()
A.-3B.-6C.-D.
解:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,且A2≠0,B2≠0,C2≠0,则有l1∥l2
∴由题设有.
应选B.
例11如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称,那么()
=,b==,b=-6
=3,b=-=3,b=6
解:若C1的方程是f(x,y)=0,C2和C1关于直线y=x对称,则C2的方程是f(y,x)=0.
∴直线y=ax+2关于直线y=x对称的直线的方程是x=ay+2,即y=x-.
由题设y=和y=3x-b是同一条直线,
∴,解得
∴应选A.
例12如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a的值等于()
.-C.-D.-2
解:两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,互相垂直的充要条件是:
A1A2+B1B2=0
∴由题设得a·1+2·1=0,从而a=-2.
应选D.
例13点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是()
A.(5,2)B.(2,-5)
C.(-5,-2)D.(-2,-5)
解:设P(2,5)和Q(m,n)关于直线y=-x对称,则PQ中点R()在y=-x上,且KPQ·(-1)=-1.
∴解得
∴对称点Q的坐标是(-5,-2).
应选C.
例14原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是()
A.(2,)B.()
C.(3,4)D.(4,3)
解:设(m,n)为所求,则
①
②
解得m=4,n=3
∴应选D.
例15点(0,5)到直线y=2x的距离是()
.
.
解:y=2x2x-y=0
∴d=
应选(B)
例16以A(1,3)、B(-5,1)为端点的线段垂直平分线的方程是()
-y+8=+y+4=0
+y+2=+y+8=0
解:设P(x,y)为线段AB的中垂线上的点,
则│PA│=│PB│
即化简得3x+y+4=0.
应选B.
例17在直角坐标系xoy中,过点P(-3,4)的直线1与直线OP的夹角为45°,求1的方程.
解:设1的斜率为k,kOP=-
∴tg45°===,
得=±1,解出k=-,7
∴1的方程为y-4=-(x+3)或y-4=7(x+3).
即1的方程为x+7y-25=0或7x-y+25=0.
例18点(0,1)到直线x+y=2的距离是.
解:d=
四、能力训练
(一)选择题
,起点A的坐标为-m,终点B的坐标为n,那么此有向线段的数量可表示为()
A.=n-=n+m
C.│AB│=n+=n-m
(3,4),N(12,7),P在直线MN上,且=,则点P的坐标是()
A.(6,5)B.(9,6)
C.(0,3)D.(0,3)或(6,5)
+y-1=0的倾斜角是()
.-
.
│x-1│+y=1确定的曲线与x轴围成的图形的面积是()
(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()
+y=-2y=0
+y=5或3x-2y=-y=5
(1,2)倾斜角α的正弦值是的直线的方程是()
-3y+2=+3y-6=0
-4y+6==±(x-1)+2
+By+C=0的倾斜角是一锐角,且在y轴上的截距大于零,则()
>0,AC>>0,AC<0
<0,AC><0,AC<0
,不与P(4,3)、Q(-1,6)两点共线的点是()
A.(5,6)B.(2,-3)
C.(3t,t+3)(这里t∈Z)D.(t+3,3t)(这里t∈Z)
+y-n=0和x+my+1=0互相平行的充要条件是()
=1,n==-1,n=-1
=1,n≠-1,或m=-1,n≠1≠±1,n≠±1
(a,b)关于直线x+y=1对称的点的坐标是()
A.(1-a,1-b)B.(1-b,1-a)
C.(-a,-b)D.(-b,-a)
≤θ≤,且点(1,cosθ)到直线xsinθ+ycosθ=1的距离等于,则θ等于()
.
∶x-2y-6=0,l2∶3x-y+4=0下列说法中错误的是()
°°
°°
∶x+3y-7=0,l2∶kx-y-2=0与x轴、y轴正方向所围成的四边形有外接圆,则k为()
A.-.-
(-2,-2),Q(0,-1),取一点R(2,m)使│PR│+│RQ│最小,则m为()
C.-1D.-
(-1,2),B(2,-2),C(0,3),且M(a,b)是线段AB上的一点(a≠0),则直线MC的斜率的取值范围是()
A.[-,1]B.[-1,]
C.[-,0]∪(0,1)D.(-∞,-]∪〔1,+∞)
(二)填空题
-7y+8=0和2x-7y-8=0间的距离是.
+5=0与直线x+2y-5=0的夹角是.
=-x+b和5x+3y-31=0的交点在第一象限,那么b的范围是.
,将直线l绕点P沿逆时针方向旋转角α(0°<α<90°=,所得直线的方程是x-y-2=0,若将它继续为转90°-α,所得直线的方程2x+y-1=0,则直线l的方程为.
(三)解答题
(-1,0),一边所在直线的斜率为3,,求这正方形各边所在直线的方程.
△ABC的边上运动的点D、E、F在t=0时分别从A、B、C出发,各以一定的速度向B、C、A前进,在t=1时分别达到B、C、A,试证明在运动过程中,
△DEF的重心是一个定点.
(5,3)射出,被直线l∶x+y=1反射,入射光线到直线l的角为β,已知tgβ=2,求入射光线与反射光线所在直线的方程.
.
(2,1)作直线l交x,y轴的正向于A,B的点,求
(1)当△AOB的面积最小值时,直线l的方程.
(2)│PA│·│PB│为最小时,直线l的方程.
≠时,求证:方程x2(tg2θ+cos2θ)-2xytgθ+y2sin2θ=0表示过原点的两直线,且其斜率之差的绝对值为2.
能力训练参考答案
(一)
(二)16.;17.-arctg;18.<b<;
(三)-y+9=0,3x-y-3=0,x+3y+7=0,x+3y-5=0;21,证略::y-3x+12=0,反射光线:3y-x+10=0;;24.(1)x+2y-4=0,(2)x+y-3=0;.