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1、数列中与之间的关系:
注意通项能否合并。
2、等差数列:
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即-=d,(n≥2,n∈N),
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:若三数成等差数列
⑶通项公式:
或
⑷前项和公式:
⑸常用性质:
①若,则;
②下标为等差数列的项,仍组成等差数列;
③数列(为常数)仍为等差数列;
④若、是等差数列,则、(、是非零常数)、、,…也成等差数列。
⑤单调性:的公差为,则:
ⅰ)为递增数列;
ⅱ)为递减数列;
ⅲ)为常数列;
⑥数列{}为等差数列(p,q是常数)
⑦若等差数列的前项和,则、、…是等差数列。
3、等比数列
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。
⑵等比中项:若三数成等比数列(同号)。反之不一定成立。
⑶通项公式:
⑷前项和公式:
⑸常用性质
①若,则;
②为等比数列,公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列;正项等比数列;则是公差为的等差数列;
④若是等比数列,则
是等比数列,公比依次是
⑤单调性:
为递增数列;为递减数列;
为常数列;
为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列的前项和,则、、…是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ公式法:若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式构造两式作差求解。
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即和合为一个表达,(要先分和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一)。
类型Ⅲ累加法:
形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:
将上述个式子两边分别相加,可得:
①若是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
③若是关于的二次函数,累加后可分组求和;
④若是关于的分式函数,累加后可裂项求和.
类型Ⅳ累乘法:
形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:
将上述个式子两边分别相乘,可得:
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。
类型Ⅴ构造数列法:
㈠形如(其中均为常数且)型的递推式:
(1)若时,数列{}为等差数列;
(2)若时,数列{}为等比数列;
(3)若且时,数列{}为线性递推数列,:
法一:设,展开移项整理得,与题设
比较系数(待定系数法)得,即构成以为首项,
法二:由得两式相减并整理得即构成以为首项,Ⅲ(累加法)便可求出
㈡形如型的递推式:
⑴当为一次函数类型(即等差数列)时:
法一:设,通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二:当的公差为时,由递推式得:,两式相减得:,令得:转化为类型Ⅴ㈠求出,再用类型Ⅲ(累加法)便可求出
⑵当为指数函数类型(即等比数列)时:
法一:设,通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二:当的公比为时,由递推式得:——①,,两边同时乘以得——②,由①②两式相减得,即,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三:递推公式为(其中p,q均为常数)或(其中p,q,r均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以,得:,引入辅助数列(其中),得:再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
⑶当为任意数列时,可用通法:
在两边同时除以可得到,令,则,在转化为类型Ⅲ(累加法),求出之后得.
类型Ⅵ对数变换法:
形如型的递推式:
在原递推式两边取对数得,令得:,化归为型,求出之后得(注意:底数不一定要取10,可根据题意选择)。
类型Ⅶ倒数变换法:
形如(为常数且)的递推式:两边同除于,转化为形式,化归为型求出的表达式,再求;
还有形如的递推式,也可采用取倒数方法转化成形式,化归为型求出的表达式,再求.
类型Ⅷ形如型的递推式:
用待定系数法,化为特殊数列的形式求解。方法为:设,比较系数得,可解得,于是是公比为的等比数列,这样就化归为型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
5、非等差、等比数列前项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列为等差数列,数列为等比数列,则数列的求和就要采用此法.
②将数列的每一项分别乘以的公比,然后在错位相减,进而可得到数列的前项和.
此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法
一般地,当数列的通项时,往往可将变成两项的差,采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项:
设,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得,从而可得
常见的拆项公式有:
①
②
③
④
⑤
⑶分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法
如果一个数列,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征:
⑸记住常见数列的前项和:
①
②
③