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一、知识总结
1、集合
(1)元素与集合:①集合元素的特征性:、、;②元素与集合的关系:元素与集合之间的关系有和两种,表示符号分别为和;③常见集合的符号表示:自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集(R);④集合的表示方法、、。
(2)集合与集合间的关系:①如果集合中元素都是集合的元素,则叫做的子集;空集,它是任何非空集合的;②若,且,则。
(3)集合的运算:设、是两个集合,全集为,则,,。若,则,。
2、命题及其关系、充分条件与必要条件
(1)命题的概念:在数学中用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫做命题,其中
的语句叫真命题,的语句叫假命题。
互逆
(2)四中命题及其关系:用分别表示原命题的条件和结论,用和分别表示的否定,则四种命题间的关系:
逆命题
(若则)
原命题
(若则)
否
互
为
逆
互否
互否
逆
为
否
互
逆否命题
(若则)
否命题
(若则)
互逆
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性,是等价关系。两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系。
充分条件与必要条件:①如果,则是的,是的
;若,则是的。②若不能推出,且不能推出,则是的.
逻辑连接词与量词
逻辑连接词:①用联结词“且”联结命题和命题,记作,读作“且”。②用联结词“或”联结命题和命题,记作读作“或”。③对一个命题全盘否定记作读作“非”或“的否定”。
④命题,,的真假判断。
真
真
真
假
假
真
假
假
全称量词与存在量词:①全称量词有:所有的,任意一个,任给,用符号“”表示。存在量词:存在一个,至少有一个,有些,用符号“”表示。②含有全称量词的命题,叫做;“对中任意一个,有成立”可用符号简记为:。③含有存在量词的命题,叫做特称命题;“存在中的元素,使成立”可用符号简记为:。
含有一个量词的命题否定
命题
命题的否定
二、例题分析
例1(2002年广东)设集合,,则()
.
例2已知集合
则()
.
例3已知三个集合、、及元素间的关系如图所示,则()
.
例4集合和的关系是()
.
例5用集合的运算式来表示图中的阴影部分:
例6(2013•上海)设全集U=R,下列集合运算结果为R的是()
.
例7下列语句:①②是有理数吗?③,④有一个根是⑤。其中是命题的是()
A.①②③B.①③④C.③D.②⑤
例8把命题“负数的平方是正数”改写为“若则”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题。
解:原命题:若则。
逆命题:若则。
否命题:若则。
逆否命题:若则。
例9设全集为U,在下列条件中,是B⊆A的充要条件的有()
①,②,③④
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;交、并、补集的混合运算。
分析:利用Venn图进行判断,理解的等价关系是解决本题的关键。
例10已知都是实数,那么“”是“”的()

例11下列命题:
①至少有一个x使x2+2x+1=0成立;
②对任意的x都有x2+2x+1=0成立;
③对任意的x都有x2+2x+1=0不成立;
④存在x使x2+2x+1=0成立;
其中是全称命题的有()

例12下列是全称命题且是真命题的是()
.