文档介绍：该【概率知识点及练习 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【29】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【概率知识点及练习 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。§1随机事件及其运算
 .“随机试验”是指试验的结果都具有同等发生的可能性吗?
答:“随机试验”,是相对于“确定性试验”而言的,它是指一个试验可以在相同条件下重复进行,,往往是把“随机”两字理解为“机会均等”.
、B、C为任意三事件,是否可以推出(A+B)-C=A+(B-C)?
答:,观察出现的点数,记事件A={2},B={点数小于4},C={偶数},
有,
,
故(A+B)-C≠A+(B-C).
产生这种错误的原因往往是想当然,不假思索把数的运算律用到事件的运算中来.
、B为任意二事件,是否有A+B-A=B?
答:≠Ф,则A+B-A=(A+B)-A
.
、差运算是否可以“去括号”或交换运算次序,如
 B+(A-B)=B+A-B=B-B+A=Æ+A=A.
答:、B关系如图,显然应有  B+(A-B)=A+B.
“移项”,如由A+B=CÞA=C-B,A-B=DÞA=B+D.
答::
(1)   若AB=Æ且A+B=C,则A=C-B;
(2)   若,且A-B=D,则A=B+D.
=B,则A、B为同一事件,对吗?
答::两个灯泡串联,记A={A灯亮},B={B灯亮},因为
A不发生必导致B不发生,故;又B不发生必导致A不发生,因此A=B,但A、B并非同一事件.
=B,则A、B同时发生或A、B同时不发生,对吗?
答:对.
.“事件A、B都发生”与“A、B都不发生”是对立事件吗?
答:不是的.
,A2,…,An构成完备事件组,当且仅当同时满足
(1)A1+A2+…+An=Ω;
(2)A1A2…An=Æ.上述说法对吗?
答:…An=Φ与A1,A2,…,An互不相容不等价.
.“事件A、B、C两两互不相容”与“ABC=Æ”是不是一回事?并说明它们的联系.
答:不是一回事.
“两两互不相容”-----其中任意两个事件无公共部分,即AB=Φ,AC=Æ,BC=Æ同时成立”;
“ABC=Æ”-----三事件A、B、C无公共部分.
可能的联系是:“两两互不相容”Þ“ABC=Æ”,反之则未必成立.
、B为两事件,
(1) 若AB=A+B,则A与B应满足什么关系;
(2)   若,则A与B应满足什么关系.
答:(1)   由知,                      
又互不相容,从而有:           .
 故,从而有;仿上述推导可得,从而有;
于是得A=B.
(2)   由有
,
. 
上述两式表明A与B是互为对立事件,即
§2概率的定义
 :P(A)=P(B)的充要条件是A=B.
答:,由A=B可以推出P(A)=P(B),
但P(A)=P(B)不能推出A=,记A={正面朝上},B={反面朝上},
我们已知P(A)=P(B)=1/2,但显然A≠B.
、B互不相容,则求A、B同时发生的概率是否可用公式:
      .
答:,第一个等号成立,第二个等号也成立,、B互不相容,一般是不互斥的(除非A=Æ,B=Ω;或A=Ω,B=Æ). 
故        .
总的说来,当A、B互不相容时,完全没有必要去建立什么求P(AB)的公式,因为这时一定有
P(AB)=P(Ф)=0.
(A)=0的充要条件是A=Æ,对吗?
答:=Æ可以推出P(A)=0,故A=Æ是P(A)=0的充分条件,但非必要条件(即由P(A)=0不能推出A=Æ).如连续型随机变量, 在某个点取值的概率为0,但这个随机变量取这个值这个事件却不是不可能事件.
(B)=1的充要条件是B=Ω,对吗?
答:.
(ABC)=0,是否可以推出:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
答:、B、C,恒有
   P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).
当且仅当A、B、C两两互不相容时才有
        P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
现由题设P(ABC)=0,并不能推出A、B、C两两互不相容,因此原命题不成立.
、B互不相容,则是否有P(A-B)=P(A)-P(B).
答:,对任意两个事件A、B,恒有
         P(A-B)=P(A)-P(AB)
对上式,若A、B互不相容,并不能推出P(AB)=P(B),从而知原命题不成立.
、B, 恒有P(AB)≤P(A)+P(B), 等号当且仅当A、B都不发生时成立,上述结论是否正确?
答:上述结论的前一半是正确的,,由概率的加法定理
        P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≥0,
则P(AB)≤P(A)+P(B).
但是,显然, 等号当且仅当P(A+B)=,当A、B都不发生时,A、B至少一个发生是不可能的,即A+B=Æ,故P(A+B)=0.
反之,当P(AB)=P(A)+P(B)时, 则P(A+B)=0, 由此并不能推出一定有A+B=Æ(即A、B都不发生).
综合上述,知原命题不成立.
、B、C为三个事件,满足条件:P(AB)=P(A)P(B),.证明:P(AC)≥P(A)P(C).
证明:由知,又,
可得A、B、,且AB与互不相容,于是
.
,因为样本空间中的基本事件没有顺序,因此计算基本事件总数时,只能用组合而不能用排列,上述说法正确吗?
答:,,它的基本事件是:{e1}={正,正},{e2}={正,反},{e3}={反,正},{e4}={反,反}.所谓“基本事件没有顺序”是指{e1}、{e2}、{e3}、{e4}没有顺序,还是指“正”与“反”没有顺序??,似乎计算古典概型的概率必须用排列组合,不需排列组合计算的概率就一定不是古典概型。更有甚者,把概率论与排列组合等同起来,这些都是不正确的.
?
8个足球队中,有2个强队,先任意将8个队分为两组(每组4个队)?
解:两个强队要分在一组,只要从剩下的6个队中任取2个队和这两个强队拼成一组就行了,共有种方法,故所求的概率为.
答:,事实上
分子:一种分组法是一个基本事件;
分母:每4个队的一种组合是一个基本事件.
(A)=, P(A-B)=,求.
答:(2/,由此推出1-P(B|A)=1/4,再利用.)
、乙二人进行一种游戏, 规则如下:每掷一次(均匀的)硬币,正面朝上时甲得1分乙得0分;反面朝上时甲得0分乙得1分;直到谁先得到规定的分数为赢,、乙还差3分就分别达到规定的分数时,、乙才算公平.
答:为了确保公平,,按甲、乙所赢的概率之比分奖品是公平的.
为了能分出输赢还要掷硬币2+3-1=4次(少于4次,有些情形分不出输赢), 所有可能结果即基本事件总数为24=16,这些基本事件的发生是等可能的.
甲赢即正面朝上至少2次,甲赢的这个事件包含的基本事件个数为,
故P(甲赢)=11/,乙赢的有利场合数为
 ,
故P(乙赢)=5/:5分奖品,对甲乙二人是公平的
§3条件概率及全概率公式
 、B,是否恒有P(A)≥P(A|B).
答:,就必然缩小了样本空间,也就缩小了概率,从而就一定有P(A)≥P(A|B), ,可能P(A)≥P(A|B),也可能P(A)≤P(A|B),下面举例说明.
在0,1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令
A={抽到一数字是3的倍数};   B1={抽到一数字是偶数};   B2={抽到一数字大于8},那么
   P(A)=3/10,P(A|B1)=1/5,P(A|B2)=(A)>P(A|B1),P(A)<P(A|B2).
.
、B满足P(AB)=P(A)P(B), 则称A、B相互独立.
、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),则称A、B相互独立.
答:
    P(A|B)=P(AB)/P(B)或P(B|A)=P(AB)/P(A)
自然要求P(A)≠0, P(B)≠0,而定义1不存在这个附加条件,也就是说,P(AB)=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=, 若P(A)=0由0≤P(AB)≤P(A)=0可知P(AB)=0故P(AB)=P(A)P(B).
因此定义1与定义2不等价,更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化.
、B,是否都有        P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B).
答:(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(*)
因为 P(AB)≥0,故P(A+B)≤P(A)+P(B).
由P(AB)=P(A)P(B|A),因为0≤P(B|A)≤1,故P(AB)≤P(A);
同理P(AB)≤P(B), 从而P(B)-P(AB)≥0,由(*)知P(A+B)≥P(A).
原命题得证.
,曾出现过三个概率:P(A|B),P(B|A),P(AB).从事件的角度去考察,在A、B相容的情况下,它们都是下图中标有阴影的部分,然而从概率计算的角度看,?
答:概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:
P(A|B)的计算基于附加样本空间ΩB;
P(B|A)的计算基于附加样本空间ΩA;
P(AB)的计算基于原有样本空间Ω.
:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
中,涉及那么多条件概率,为什么在给出上述乘法公式时只提及P(A1A2…An-1)>0呢?
答:按条件概率的本意,应要求P(A1)>0, P(A1A2)>0,…, P(A1A2…An-2)>0,          P(A1A2…An-1)>0.
事实上,由于A1A2A3…An-2A1A2A3…An-2An-1,从而便有P(A1A2…An-2)≥P(A1A2…An-1)>, 除P(A1A2…An-1)>0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率, 如P(A1A2…An-2)>0,…, P(A1A2)>0, P(A1)>0便是题设条件P(A1A2…An-1)>0的自然结论了.
(B)时, 如果事件B的表达式中有积又有和,是否就必定要用全概率公式.
答:, 完全把它作为一个”公式”来理解是不对的.  其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于A1,A2,…,, 对于具体问题, 若能设出n个事件Ai,使之满足
(*)
就可得  .(**)
这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.
因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(**)式,而要有(**)式, 关键又在于适当地对Ω进行一个分割, 即有(*)式.
(A)≠0, P(B)≠0,因为有
(1)若A、B互不相容,则A、B一定不独立.
(2)若A、B独立,则A、B一定不互不相容.
.
答:(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命题, 有其一就可以了)只能推出在P(A)≠0, P(B)≠0的前提下,事件A、B
既互不相容又独立是不存在的, 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”.事实上,恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的,下面举一例.
5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个, 无放回抽取三次, 记Ai={第i次取到新球}, i=1,2,,故A1、A2、A3互相不独立,又A1A2A3={三次都取到新球}, 显然是可能发生的, 即A1、A2、A3可能同时发生, 因此A1、A2、A3不互不相容.
、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系?事件A、B“独立”与“互不相容”又有什么区别和联系?
答:“对立”与“互不相容”区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的,大体上可由如下的命题概括:“对立”→“互不相容”, 反之未必成立.
至于“独立”与“互不相容”的区别和联系,并非一目了然.
事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生,是纯粹的事件的关系, 丝毫未涉及它们的概率,其关系可借助图直观显示.
事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)时, 称A、B是相互独立的.
它们的联系可由下述命题概括:对于两个非不可能事件A、B, 则有“A、B互不相容”→“A、B不独立”. 其等价命题是:在P(A)>0与P(B)>0下, 则有“A、B独立”→“A、B不互不相容”(相容).注意, 上述命题的逆命题不成立.
、B为两个事件,若
0<P(A)<1,0<P(B)<1.(*)
则A、B相互独立,A、B互不相容,,这三种情形中的任何两种不能同时成立.
答:在条件(*)下
当A、B相互独立时,有P(AB)=P(A)P(B);
当A、B互不相容时,有P(AB)<P(A)P(B);
当时,有P(AB)>P(A)P(B).
在条件(*)下,, A、B相互独立,A、B互不相容, 这三种情形中的任何两种不能同时成立.
此结论表明:在条件(*)下,若两个事件相互独立时, 必不互不相容,也不一个包含另一个,而只能是相容了.
:若P(A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立.
答:若P(A)=0,又, 故0≤P(AB)≤P(A)=0.
于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立.
若P(A)=1,,与任何事件B相互独立. 再由事件独立性的性质知, 与B相互独立,:由P(A)=1知, 进而有.
又且AB与互不相容, 故.
即A与B相互独立.
、B是两个基本事件, 且0<P(A)<1,P(B)>0, ,问事件A与B是什么关系?
[解1]由已知条件可得.
由比例性质,得.
所以P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立.
[解2]由得
.
因而.
又,
所以P(B|A)=P(B).
因此事件A与B相互独立.
, 小概率事件决不会成为必然事件.
答:, 随机试验中,若A为小概率事件,不妨设P(A)=ε(0<ε<1为不论多么小的实数),只要不断地独立地重复做此试验,则A迟早要发生的概率为1.
事实上,设Ak={A在第k次试验中发生},则P(Ak)=ε,,在前n次试验中A都不发生的概率为:
.
于是在前n次试验中, A至少发生一次的概率为
  .
如果把试验一次接一次地做下去, 即让n→∞,由于0<ε<1,则当n→∞时,有pn→1.
以上事实在生活中是常见的,例如在森林中吸烟,一次引起火灾的可能性是很小的,但如果很多人这样做, 则迟早会引起火灾.
, 小概率事件就可以忽视.
答:,要由事件的性质来决定,例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的,但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的.
,理由是:既然是重复试验就是说每次试验的条件完全相同,从而试验的结果就不会互相影响,上述说法对吗?
答:.
一个罐子中装有4个黑球和3个红球,随机地抽取一个之后,再加进2个与抽出的球具有相同颜色的球,这种手续反复进行,,这时与取出球有相同颜色的球的数目增加,而与取出球颜色不同的球的数目保持不变,从效果上看,每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率,因此这不是独立试验,此例是一个如同传染病现象的模型,每一次传染后都增加再传染的概率.
.
答:,现在连续向一目标进行射击,:A={命中};={未命中},且P(A)=,因此它是伯努利试验(伯努利概型),设Xk={第k次射中},Xk显然是一个随机变量,但
       P(Xk=k)=qk-1p,k=1,2,…,其中q=p-1,
可见Xk是服从参数为p的几何分布,而不是二项分布.