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高考要求
数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题高考对应用题的考查已逐步成熟,大体是三道左右的小题和一道大题,注重问题及方法的新颖性,提高了适应陌生情境的能力要求
重难点归纳
1解应用题的一般思路可表示如下:
2解应用题的一般程序
(1)读阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础
(2)建将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型熟悉基本数学模型,正确进行建“模”是关键的一关
(3)解求解数学模型,得到数学结论一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙作,优化过程
(4)答将数学结论还原给实际问题的结果
3中学数学中常见应用问题与数学模型
(1)优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决
(2)预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决
(3)最(极)值问题工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值
(4)等量关系问题建立“方程模型”解决
(5)测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决
典型题例示范讲解
例1为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a、b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?
命题意图本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力
知识依托重要不等式、导数的应用、建立函数关系式
错解分析不能理解题意而导致关系式列不出来,或a与b间的等量关系找不到
技巧与方法关键在于如何求出函数最小值,条件最值可应用重要不等式或利用导数解决
解法一设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y,则由条件y=(k>0为比例系数)其中a、b满足2a+4b+2ab=60①
要求y的最小值,只须求ab的最大值
由①(a+2)(b+1)=32(a>0,b>0)且ab=30–(a+2b)
应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥
∴ab≤18,当且仅当a=2b时等号成立
将a=2b代入①得a=6,b=3
故当且仅当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小
解法二由2a+4b+2ab=60,得,
记(0<a<30)则要求y的最小值只须求u的最大值
由,令u′=0得a=6
且当0<a<6时,u′>0,当6<u<30时u′<0,
∴在a=6时取最大值,此时b=3
从而当且仅当a=6,b=3时,y=取最小值
例2某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相等为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
命题意图本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力
知识依托数列极限、等比数列、解不等式
错解分析①不能读懂题意,找不到解题的突破口;②写出bn+1与x的关系后,不能进一步转化为极限问题;③运算出错,得不到准确结果
技巧与方法建立第n年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易,但解题过程中的准确性要求较高
解设2001年末的汽车保有量为b1万辆,以后各年汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆,……每年新增汽车x万辆,则
b1=30,b2=b1×094+x,…
对于n>1,有bn+1=bn×094+x=bn–1×0942+(1+094)x,…
所以bn+1=b1×094n+x(1+094+0942+…+094n–1)
=b1×094n+
当≥0,即x≤18时,bn+1≤bn≤…≤b1=30
当<0,即x>18时,
并且数列{bn}逐项递增,可以任意靠近
因此如果要求汽车保有量不超过60万辆,
即bn≤60(n=1,2,…)则有≤60,所以x≤36
综上,每年新增汽车不应超过36万辆
例3一只小船以10m/s的速度由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高20米的桥上,一辆汽车由西向东以20m/s的速度前进(如图),现在小船在水平P点以南的40米处,汽车在桥上以西Q点30米处(其中PQ⊥水面),则小船与汽车间的最短距离为(不考虑汽车与小船本身的大小)
解析设经过时间t汽车在A点,船在B点,(如图),则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP,PQ⊥AQ,PQ⊥PB,设小船所在平面为α,AQ,QP确定平面为β,记α∩β=l,由AQ∥α,AQβ得AQ∥l,又AQ⊥PQ,得PQ⊥l,又PQ⊥PB,及l∩PB=P得PQ⊥α作AC∥PQ,则AC⊥α连CB,则AC⊥CB,进而AQ⊥BP,CP∥AQ得CP⊥BP,
∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+(40–10t)2+(30–20t)2
=100[5(t–2)2+9],t=2时AB最短,最短距离为30m
答案30m
例4小宁中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序(1)洗锅盛水2分钟;(2)洗菜6分钟;(3)准备面条及佐料2分钟;(4)用锅把水烧开10分钟;(5)煮面条和菜共3分钟以上各道工序除(4)之外,一次只能进行一道工序,小宁要将面条煮好,最少用分钟
解析按以下工序操作所需时间最少,①、④(并在此时完成②、③、⑤)所用时间为2+10+3=15分钟
答案15
例5某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律每生产产品x(百台),其总成本为G(x)万元,其中固定成本为2万元,并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)满足R(x)=假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律
(1)要使工厂有盈利,产品x应控制在什么范围?
(2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少?
解依题意,G(x)=x+2,设利润函数为f(x),则
(1)要使工厂有赢利,则有f(x)>0
当0≤x≤5时,有–04x2+32x–28>0,得1<x<7,∴1<x≤5
当x>5时,有82–x>0,得x<82,∴5<x<82
综上,要使工厂赢利,应满足1<x<82即产品应控制在大于100台小于820台的范围内
(2)0≤x≤5时,f(x)=–04(x–4)2+36
故当x=4时,f(x)有最大值36
而当x>5时f(x)<82–5=32
所以当工厂生产400台产品时,赢利最大,此时只须求x=4时,每台产品售价为=24(万元/百台)=240(元/台)