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我们‖打〈败〉了敌人。
②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。
高考数学概念方法题型易误点技巧总结(十)
排列、组合和二项式定理
、组合数中.
(1)排列数公式
;。如(1)1!+2!+3!+…+n!()的个位数字为(答:3);(2)满足的=(答:8)
(2)组合数公式
;规定,.如已知,求n,m的值(答:m=n=2)
(3)排列数、组合数的性质:①;②;③;④;⑤;⑥.
A
C
B
D
:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事),分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的),有序排列,(1)将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有种(答:);(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有种(答:70);(3)从集合和中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___(答:23);(4)72的正约数(包括1和72)共有个(答:12);(5)的一边AB上有4个点,另一边AC上有5个点,连同的顶点共10个点,以这些点为顶点,可以构成_____个三角形(答:90);(6)用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开,允许同一颜色涂不同区域,但相邻区域不能是同一种颜色,则共有种不同涂法(答:480);(7)同室4人各写1张贺年卡,然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式有种(答:9);(8)是集合到集合的映射,且
,则不同的映射共有个(答:7);(9)满足的集合A、B、C共有组(答:)
:
(1)特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置)。如(1)某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙,现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择,其中1号石材有微量的放射性,不可用于办公室内,则不同的装饰效果有_____种(答:300);
(2)某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字(如2816)的方法设计密码,当积为一位数时,、(答:100);(3)用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成无重复数字的四位偶数_______个(答:156);(4)某班上午要上语、数、外和体育4门课,如体育不排在第一、四节;语文不排在第一、二节,则不同排课方案种数为_____(答:6);(5)四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有__________种;②甲球只能放入第2或3号盒,而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_________种(答:84;96);(6)设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_________种(答:31)
(2)间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉))。如在平面直角坐标系中,由六个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(-1,-2),(-2,-1)可以确定三角形的个数为_____(答:15)。
(3)相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列)。如(1)把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法种数为_____(答:2880);(2)某人射击8枪,命中4枪,4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为_____(答:20);(3)把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是_____(答:144)
(4)不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间)。如(1)3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种(答:24);(2)某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为_____(答:42)。
(5)多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x,这2n个学生排成前后两排,每排各n个学生的排法数为y,则x,y的大小关系为_____(答:相等);
(6)多元问题分类法。如(1)某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料,现有5种原料可用,但甲、乙两种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,(答:15);(2)某公司新招聘进8名员工,平均分给下属的甲、;另三名电脑编程人员也不能同给一个部门,则不同的分配方案有______种(答:36);(3)9名翻译中,6个懂英语,4个懂日语,从中选拨5人参加外事活动,要求其中3人担任英语翻译,选拨的方法有____________种(答:90);
(7)有序问题组合法。如(1)书架上有3本不同的书,如果保持这些书的相对顺序不便,再放上2本不同的书,有种不同的放法(答:20);(2)百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛,每个运动员的速度都不同,则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_____种(答:360);(3)学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩且满足,则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种(答:15);(4)设集合,对任意,有,则映射的个数是_____(答:);(5)如果一个三位正整数形如“”满足,则称这样的三位数为凸数(如120、363、374等),那么所有凸数个数为_____(答:240);(6)离心率等于(其中且)的不同形状的的双曲线的个数为_____(答:26)。
(8)选取问题先选后排法。如某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只测试,直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的不同情况种数是_____(答:576)。
(9)至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人,至少有2名女同学当选的选法有_______种(答:596)
(10)相同元素分组可采用隔板法。如(1)10个相同的球各分给3个人,每人至少一个,有多少种分发?每人至少两个呢?(答:36;15);(2)某运输公司有7个车队,每个车队的车都多于4辆且型号相同,要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队,每个车队至少抽1辆车,则不同的抽法有多少种?(答:84)
4、分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以n!。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组,若把他们分配到4所学校去为学生体检,每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种(答:37440);
:,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数;展开式共有n+1项,其中第r+l项
称为二项展开式的通项,:(1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数。如在的展开式中,第r+1项的二项式系数为,第r+1项的系数为;而的展开式中的系数就是二项式系数;(2)当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数;(3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数?如(1)的展开式中常数项是____(答:14);(2)的展开式中的的系数为______(答:330);(3)数的末尾连续出现零的个数是____(答:3);(4)展开后所得的的多项式中,系数为有理数的项共有____项(答:7);(5)若的值能被5整除,则的可取值的个数有____个(答:5);(6)若二项式按降幂展开后,其第二项不大于第三项,则的取值范围是(答:);(7)函数的最大值是_______(答:1024).
6、二项式系数的性质:
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即;
(2)增减性与最大值:当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,C的值逐渐减小,且在中间取得最大值。当n为偶数时,中间一项(第+1项)的二项式系数取得最大值。当n为奇数时,中间两项(第和+1项)的二项式系数相等并同时取最大值。如(1)在二项式的展开式中,系数最小的项的系数为______(答:-426);(2)在的展开式中,第十项是二项式系数最大的项,则=____(答:17,18或19)。
(3)二项式系数的和:;
。如(1)如果,则(答:128);(2)化简(答:)
7、赋值法:应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数(偶次)项”系数和为,以及“偶数(奇次)项”系数和为。如(1)已知
,则等于_____(答:);(2),则+
=_____(答:2004);(3)设,则_____(答:)。
8、系数最大项的求法:设第项的系数最大,由不等式组确定。如求的展开式中,系数的绝对值最大的项和系数最大的项。(答:系数绝对值最大的项为,系数最大的项为)
9、二项式定理的应用:二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如(1)()(答:);(2)被4除所得的余数为_____(答:0);(3)今天是星期一,10045天后是星期_____(答:二);(4)求证:能被64整除;(5)求证: