战地黄花线性代数考研知识点.doc

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大自然中最简单的图形是直线。社会生活中最简单的关系是“成比例”。
据说当年“工x队”进驻清华。有一位队员对“井岗山”群众讲话。开场白说,我们工人阶级大老粗,不象你们知识分子弯弯多。我们是“一根肠子通屁眼——直来直去”。一句话让满场红28团的钢杆粉丝们笑得捧腹弯腰,花枝乱颤。“直”代表简单,早已融进人们的思维。
初等数学以引入负数为起点,以方程为其重心之一。
最简单的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解”。
什么东东叫一个方程(组)的根——把东东代入这个方程(组),方程(组)化为恒等式。这个概念是学****线性代数》的基本需要。不少人读到“齐次线性方程组有限个解的线性组合,仍然是该方程组的解”感觉盲然没反应,一是忘了概念,二是不动笔。应对这些貌似理论的语句,其实方法很简单。是不是“解”,代入方程(组)算一算。
由一元一次方程出发,关于方程的研究向两个方向发展:
(1)一元n次方程
(2)n元一次方程组(线性方程组)
大学数学《线性代数》教材有两大板块。第一板块解线性方程组。基本工具是矩阵,核心概念是矩阵的秩,理论重心是“齐次线性方程组解集的构造”。第二板块是矩阵特征理论基础知识。n阶方阵A的特征方程是个一元n次方程。
一元n次方程的讨论点为:求根公式,根的个数,根与系数的关系。
一元二次方程有求根公式,在复数范围内有两个根。(二重根算两个根。)有韦达定理显示根与系数的关系。
人们努力探索了大半个世纪,也没能找到一元五次方程的求根公式。回头又花了几十年,证明了所期盼的求根公式不存在。同时也证明了一元n次方程在复数范围内有n个根。(k重根算k个根。)还同样找到了高次方程的“韦达定理”。
对线性方程组的讨论则衍生出若干基本理论。可以合称为线性理论。依靠着完美透彻的线性理论,所有的线性问题(线性方程组,线性微分方程组,---)都得到了园满解决。
在研究非线性问题时,人们找到了“有限元”,“边界元”等线性化计算方法。但是一个非线性问题用线性化计算方法产生的齐次线性方程组可能有成千上万个方程。这样一来,方程组的表达方式自然就上升为首要问题。
描述一个齐次线性方程a1x1+a2x2+---+anxn=0,实际上只需按顺序写出它的系数组就行了。这就产生了形式上的n维向量(a1,a2,---,an)。方程组的两种同解变换,即方程两端同乘以一个数与两个方程相加(减),正好是数乘向量与向量加法。
如果是有m个方程的齐次线性方程组,则m个系数行就排成一个m×n阶矩阵。
如果把n个未知量也按顺序排成一个向量,每个方程的左端“a1x1+a2x2+---+anxn”,正好是,系数向量与未知量向量的“对应分量两两相乘,加在一起”。数学家们把这个计算方式规定为“向量的内积”。进而规定出“矩阵的乘法”。
运用有限元方法转换模型时,要多方交互使用每个节点处的数据。这就不可避免地会产生一个负面效应。即所得齐次线性方程组中可能有相当数量“多余的”方程。(如果用几个方程的左端作线性组合,可以得到组内别的某个方程,那个方程就会在同解变换中化为恒等式。所以是“多余的”方程。)这就产生了第二个问题:
“一个齐次线性方程组中,究竟有多少个方程是相互独立的?”
由此有相应概念——矩阵的秩,n维向量组的秩。
解决一个复杂的数学问题,往往需要发展一门甚至多门基础理论。人类的最终收获,常常是远远超越问题本身。欧洲历史上有很多理髮师与钟表匠热衷于数学研究。中国民间也有大量的数学爱好者。中国数学协会常常收到很多诸如“证明哥德巴赫猜想”之类的民间论文,无人敢于拜读只能束之高阁。作者们责难专家们为什么不能帮帮老百姓。回答曰,解决这样巨难的数学问题,必然需要新的基础理论。没有这个前提,你的证明自然是错的。
实际问题的需要促成了线性理论百花竞艳。柯召先生的开山之作就是一部《矩阵论》。我在本科时是柯先生的钢杆粉丝,企图课余时间读完这套专著。结果读不到一半,但已收获不浅。考研那年,有幸在YM石油局图书馆书库中得到了张远达先生的《线性代数》。张先生主要以行列式为工具。常常在证明一个定理时,出人意料地给出一个辅助行列式,通过计算解决问题。直令我佩服得五体投地。又读了谢邦杰先生的《线性代数》,谢先生创新的“高矩阵”方法,让我耳目一新。还读了李尔重等老师合写的《线性代数》,这部教材着重照应《线性代数》方法在计算机上实现,让我对高斯消元,矩阵分解等内容有了更深的理解。
(题外话:最终在考研考场上。我花了不到30分钟,拿到了《线性代数》的100分。那真是读书改变命运啊。)
知道一点实际背景,会感到一切都自然而然。因为需要而创生新的描述方式;因为需要而定义新的概念;因为需要而“规定”集合中的运算;---。愿这能有助于你减少一点抽象感。
考研数学讲座(38)提升观念学集合
线性代数》的“地基”是,行列式基础知识,向量基础知识,矩阵基础知识。全都需要用“集合”语言来描述。
数学所说的集合,隐含集合中的“元素”有一定的共性特征。
n维向量集合由全体n元有序数组(a1,a2,-----,an)组成;m×n阶矩阵是mn个元所排成的矩形阵列。这两个集合上都定义了“数乘”与“加法”运算。对于n阶行列式,它也有两条性质相应于“数乘”与“加法”。
集合上的运算在观念上要比四则运算高一个层次。集合上的“运算”本质上是人为规定的特殊运算或特殊对应规律。
“数乘”与“加法”合称为线性运算。由于有负数,因而“加法”实际上包含了通常的减法。数学工作者在讨论一般集合时,往往都希望能在集合中定义线性运算。
集合中的若干个元素既作数乘又作加法,称为这些元素作“线性组合”。
学到这个地步,要学会体验数学式的双重含义。一个线性组合式,它既表示相应的运算过程,又代表整个运算的结果。说“向量的线性组合”,有时就指的是运算结果所得到的向量。还比如:
有限个无穷小量的线性组合是无穷小量。(“线性组合”表示运算结果)
有限个连续函数的线性组合连续。有限个可导函数的线性组合可导。
------------------
(画外音:不要随口说啊。无穷大的线性组合不一定是无穷大。“∞-∞”是未定式。)
如果两个变量成正比例,我们就说这两个变量有线性关系。
在《解析几何》中,我们研究只有方向与模长的“自由向量”。三维(真实)空间里,两个向量α,β或者平行,对应分量成比例,α=λβ,即两个向量有线性关系。或者彼此不平行。(但必然都平行于同一平面。)这时,我们说两个向量没有线性关系。同样地,讨论一组两个或多个n维向量,我们自然要先考虑它们之间是否存在某种线性关系。即
“是否有一个向量可以表示为组内其它向量的线性组合。”
或“是否有一个向量可以被组内其它向量线性表示。”
如果是,就称这组向量线性相关。否则,称向量组线性无关。
作为数学定义,数学家们总希望其内含更丰富,不愿意突出某一个向量。于是有:
定义    若有一组不全为零的数 c1,c2,---,ck,使得c1a1+c2a2+---+ckak=0,就称向量组a1,a2,---,ak线性相关。否则,称向量组线性无关。
(潜台词:谁的系数不为零,谁就可以被组内其它向量线性表示。)
这个定义的内含实在是丰富多彩。
理解(1)含“零向量”的向量组一定线性相关。——“零向量”的系数取1,其它向量的系数取0,就满足定义。(构造法!)
理解(2)“部分相关,全组相关。”——比如组内有两个向量平行
不仿设a1=ca2,即a1-ca2=0,其它向量的系数取0,就满足定义。(构造法!)
这个结论有个伴生结论:“全组无关,部分无关。”
理解(3)在一个向量组内,向量之间可能存在很多个线性关系。要判断其线性相关性,只需要找到一个线性关系。
理解(4)系数为零的向量,实际上并没有参与该线性关系。
例1如果向量β可以由向量组a1,a2,---,ak线性表示,则
(A)存在一组不全为零的数c1,c2,---,ck,使得β=c1a1+c2a2+---+ckak
(B)对β的线性表示式一定不唯一。                 (C)向量组β,a1,a2,---,ak线性相关。
(D)组内任意一个向量,一定也可以由β及组内其它向量线性表示。
分析已知β与a1,---,ak间存在线性关系,故(C)对。
如果β是零向量,而a1,---,ak 线性无关,则(A)不成立。
如果a1,---,ak线性无关,则对β的线性表示唯一。(B)错。
谁的系数不为零,谁才可以被β及组内其它向量线性表示。故(D)错。
理解(5)如何用定义来具体描述及证明向量组线性无关呢?
“不存在一组不全为零的数c1,c2,---,ck,使得c1a1+c2a2+---+ckak=0”
“对任何一组不全为零的数c1,c2,---,ck,总有c1a1+c2a2+---+ckak≠0”
这两种否定性描述都对。但是不好用。我们选择:
“设有数组c1,c2,---,ck,使得 c1a1+c2a2+---+ckak=0,则只有c1=c2=---=ck=0,就表明向量组线性无关。”
这样一来,“证明向量组线性无关”就程序化了。遇上证明线性无关的题,你先写“设有一组数---,使得---,”再具体证明“只有---”。
例2若向量组α1,α2线性无关,而α1,α2,β线性相关,α1,α2,γ线性无关,则向量组α1,α2,β+γ线性无关。
证明已知α1,α2,β线性相关,即有不全为零的数组使k1α1+k2α2+k3β=0,又已知α1,α2线性无关,必有k3≠0,向量β可以由α1,α2线性表示。否则,系数全都为0,矛盾。
设有数组c1,c2,c3,使得c1α1+c2α2+c3(β+γ)=0
(潜台词:要证向量组线性无关,请证明三系数皆为0)
如果c3=0,同理,只有c1=c2=0,结论得证。
如果c3≠0,则向量β+γ可以被α1,α2线性表示。已证明β可以由α1,α2线性表示,从而γ也可以被α1,α2线性表示。这与已知矛盾。只有c3=0
例3已知向量α1≠0,向量组a1,a2,---,ak中的每一个向量,都不能由排在它前面的那些向量线性表示。试证此向量组线性无关。
证明设有一组数c1,c2,---,ck,使得c1a1+c2a2+---+ckak=0
如果有某个系数非零,(反证法),我们可以从右向左看。设第一个不为0的系数是cr,则向量ar就能由排在它前面的那些向量线性表示。矛盾。只有c1=c2=---=ck=0,向量组线性无关。
有一个重要的定理可以和线性相关的定义放在一起学****br/>定理已知一个n维向量组线性无关,如果在相同的位置给组内每个向量都增加一个分量,则所得的n+1维向量组也线性无关。
为了好记,我把这个结论称为“线性无关,延长无关。”
比如,三维向量组(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)显然线性无关。依据本定理,四维向量组(1,0,0,a),(1,0,0,b),(1,0,0,c)一定线性无关。
在实际工作中,要分析某个目标变量与我们认定的若干个因素变量之间的关系,以便对目标变量实施预测。通常也首先猜想那是一个“多元线性模型”,然后依据历史记录的各变量数据,用最小二乘法回归出各个系数,再用概率方法作显著性分析。
考研数学讲座(39)“秩”的概念先向量
矩阵的“秩”是《线性代数》第一模块(线性方程组)的核心概念。矩阵“秩”的定义是用行列式来描述的。但是要从理论上深入讨论矩阵的“秩”,用向量工具更为方便。所以先要学****向量组的的秩。

讨论向量组的线性相关性,其应用背景是,
“一个齐次线性方程组中,究竟有多少个方程是相互独立的?”
因而我们相应最关心的是,
“一个向量组中,最多有几个向量能线性无关,即相互独立。”
如果一个向量组的子组线性无关。且把组内别的任何一个向量添加进去,得到的新子组都一定线性相关。则称此线性无关的子组是向量组的一个最大无关组。
一个向量组可能有好些个最大无关组。但是,最大无关组中含有的向量个数必定相同。(由后述“基本定理”保证。)称为向量组的“秩”。
对向量组而言,最大无关组是个客观存在。你需要用它的时候,你就把它设出来。
例7向量组增加一个(或一些)向量而秩不变,则新增的那个(些)向量可以被原组向量线性表示。
分析实际上因为新组包含旧组,且,新组的秩=旧组的秩,故旧组的最大无关组也是新组的最大无关组。新增的向量可以被旧组的最大无关组线性表示。
其它向量都给以零系数加上去,则新增的向量被原组向量线性表示。
最大无关组的基本作用是,它可以将组内每一个向量唯一地线性表示。*如果给它一个排列顺序,就能使组内的向量与“有序(系)数组”成一一对应,这就自然生成了集合内的“坐标”。
有趣的是,最大无关组如何唯一地线性表示自身内部的任一向量呢?当然只能是自己的系数1,其它的系数为0;因为它们之间不存在任何线性关系。
(*潜台词:任何一个最大无关组,作为“坐标基“,它自身的“坐标”总是“单位向量组”:
(1,0,……,0),(0,1,……,0),……,(0,0,……,1))
*例8向量组的一个子组是其最大无关组的充分必要条件是,组内每一个向量都可以由这个子组唯一地线性表示
分析只需证明条件的充分性。
设向量组内每一个向量都可以由一个子组唯一地线性表示。
这个子组不可能有零向量。否则,零向量的系数随意,线性表示式不可能唯一。
如果这个子组线性相关,则其中至少有一个向量β可以被子组内其它向量线性表示。加上0β项,,得到β被子组全体向量线性表示。
但是,取β的系数为1,其它向量的系数都为0,可以得到β被子组全体向量线性表示的另一个式子。矛盾。(反证法结合构造法。)
一个在研考题中最常见却又最简单的事实是,如果一个向量组共有k个向量,又已知其中的k-1个向量线性无关。则向量组的秩为k-1;该无关组就是它的最大无关组。
例9已知向量组α1,α2,α3线性相关;向量组α2,α3,α4线性无关。试问
(1)向量α1能否由α2,α3线性表示?
(2)向量α4能否由α1,α2,α3线性表示?
分析(1)已知向量组α1,α2,α3线性相关;向量组α2,α3,α4线性无关,所以,α2,α3线性无关,且正好是α1,α2,α3的一个最大无关组。α1可以由α2,α3线性表示。(且唯一地线性表示。)
(2)如果α4能由α1,α2,α3线性表示,则由(1)的结论,(潜台词:把α1的线性表示式代入。)α4就能由α2,α3线性表示,这和已知α2,α3,α4线性无关矛盾。

定理如果甲向量组的每一个向量都可以被乙向量组线性表示,则
甲向量组的秩R(甲)≤乙向量组的秩R(乙)
教材内一般都不会证明这个定理。学****这个定理,首先要熟练它的语言。
显然,如果甲向量组的每一个向量可以由乙向量组线性表示,而甲组向量个数>乙组向量个数,则甲向量组必定线性相关。
实际上,唯一的信息链是:
秩R(甲)≤秩R(乙)≤乙组向量个数<甲组向量个数
n+1个n维向量必定线性相关,是因为它们可以由前述单位向量组线性表示。
如果两个向量组能相互线性表示。则它们的秩相等。称为等价向量组。显然,向量集合的最大无关组是两两等价的。
例10如果把两个向量组合并为一个组,则“合并组”的秩不超过各组秩的和。
分析两个向量组各取一个最大无关组,合并到一起,为了说话方便,称为“小合并组”。显然,“合并组”每一个向量都可以被“小合并组”线性表示。但是两个线性无关组合并后不一定能全组线性无关。故
“合并组”的秩≤“小合并组”的秩≤原两个向量组秩的和
问题本身都不算难。难就难在描述向量的语言。
考研数学卷常常会有题目:“已知两个含参数的向量组等价,试确定参数值。”那就求向量组的秩,利用秩相等来判断或建立方程。
如果是“试讨论参数为何值时,两个向量组等价或不等价。”难度就高了很多。因为秩相等的两个向量组不一定等价。我们也难以按定义判定等价性。这时候,题上所给的向量组可能都是三个三维向量的组。如果线性无关,则三维空间的两个最大无关组等价。
*
有的《线性代数》教材上写了一章“线性空间”。非数学专业的学生很难适应那样的理论抽象及其讨论方式。我们不仿将讨论范围限定在n维向量内,就可以简明地说:
“如果一个n维向量集合对于线性运算是封闭的。即集合中任意有限个向量的线性组合仍然是集合中的向量,就称这个集合为向量空间。
如果一个n维向量集合的秩为k,又成功向量空间,就称其为k维向量空间。”
全体n维向量组成的集合叫n维向量空间。
三维空间中,“平行于某一已知平面的全体向量组成的集合”显然也是一个向量空间。是三维向量空间的一个二维子空间。
n个未知量m个方程的齐次线性方程组如果有一个非零的解向量β,则对任意实数c,向量cβ也是该方程组的解向量。进一步还可以验证,齐次线性方程组的任意有限个解向量的线性组合也是该方程组的解向量。
(画外音:是不是解向量,代入齐次线性方程组去验算一下嘛。)
这就是说,齐次线性方程组如果有一个非零的解向量,它就有无穷多个解向量。一个齐次线性方程组的全体解向量是n维向量空间的子集合,但它对于线性运算也是封闭的。因而也可以获得“向量空间”的称号。叫齐次线性方程组的解空间。
不要害怕,知道向量集合满足一个运算性质,就给它一个特殊称呼。如此而已!
考研数学指导(40)向量内积学在前
集合上的运算概念再向上提升,就是集合上的“二元关系”。内积正是我们在向量集合上规定的一个“二元关系”——两个 n维向量对应唯一确定的一个数。即
对于任意两个n维行向量α=(α1,α2,…,αn),β=(β1,β2,…,βn),规定
内积α·β=αβˊ=α1β1+α2β2+…+αnβn(=β·α)
(画外音:喜欢口诀吗?左行右列作内积。对应分量积相加。)
正如我们在指导(37)中所述,在一定意义上,内积的创意起自于表示齐次线性方程组的需要。把n个未知量记为未知列向量 x=(x1,x2,…,xn)ˊ,就可以把齐次线性方程组简化表示为Ax=0,即第k 个方程的左端就是A的第k行与x的内积。
数学一的考生学****了《空间解析几何》基础知识。《空解》与《平解》的基本差别在于,《平解》的基本工具是方程;而《空解》的基本工具是“向量代数”。其中,向量的“数量积”就是内积。《空解》中介绍了“数量积”的物理模型背景;用内积描述“向量在轴上的投影”;用内积建立轨迹方程;用内积计算各种交角;……。可惜我们的《高等数学》教材往往在多元微积分部分不再注重引导学生使用“数量积”。同学们学****第二型(关于坐标的)曲线积分,曲面积分感到困难,一定意义上说,就是对“数量积”及其物理模型背景理解得较差。
内积的应用之广,远远超越了它的运算本意。

*在《空间解析几何》中,向量坐标=终点坐标-起点坐标,向量“模长”就是两点间的距离。
让n维向量α=(α1,…,αn)和自己作内积,即
α·α=α2=ααˊ=α12+…+αn2
通常称ααˊ的祘术根为向量α的“模长”。记为|α|。α∕|α|是(α方向的)单位向量。并由此得到一个小结论:n维向量α是零向量的充分必要条件是,ααˊ=0
借助于向量“模长”与内积,可以进一步在集合内抽象定义“距离”。有了“距离”,又可以再引申出特定意义的“逼近”与“收敛”。这是一条深邃的理论链。
最简单的一个应用是,对于实践中出现的不相容的线性方程组Ax=β,我们可以求“使模长|Ax-β|最小的x”,作为线性方程组的解。即最小二乘解。
,线性无关的等价条件
《线性代数》教材中通常把n维向量设为列向量。这样就可以把m×n阶矩阵A表示为
A=(a1,a2,---,an),又称为矩阵A的列分块表达式。
其中,列向量a1=(a11,---,an1)ˊ,……,an=(a1n,---,ann)ˊ
如果把每个列块视为一个元素,A=(a1,a2,…,an)就是一个“形式向量”。这个观念对学****线性代数》大有好处。比如,让“形式向量”与未知列向量x作“形式内积”,可以把齐次线性方程组Ax=0改写为
(a1,a2,…,an)(x1,x2,…,xn)ˊ=0即x1a1+x2a2+---+xnan=0
对比一下向量组线性相关的定义,就能产生一个新的描述方式:
一个(n维)列向量组线性相关的充分必要条件是,以它们为列作系数矩阵,相应的齐次线性方程组有非零解。
一个(n维)列向量组线性无关的充分必要条件是,以它们为列作系数矩阵,相应的齐次线性方程组仅有零解。
向量语言与方程语言融合,给我们提供了新的讨论方法。最基本的一条是
“n个n维向量线性相关的充分必要条件是,它们排成的行列式值为0”
例13讨论向量α1=(1,1,0),α2=(1,3,-1),α3=(5,3,t)的线性相关性。
分析三个三维向量线性相关的充分必要条件是,它们排成的三阶行列式值为0
由此列方程可以计算得,当t=1时,三向量线性相关。当t ≠1时,三向量线性无关。
=β有解的等价条件
对于一般的线性方程组Ax=β,即x1a1+x2a2+…+xnan=β,也有新说法:
“线性方程组Ax=β有解的充分必要条件是,向量β可以被A的列向量组线性表示。”
比如,已知向量β可以被向量组a1,a2,a3 线性表示为β=a1+2a2,如果有必要,我们可以说,已知表明,线性方程组(a1,a2,a3)x=β有非零解α=(1,2,0)ˊ
=0的解
如果内积αβˊ=0,称向量α与β正交。在三维空间,正交就是垂直。在一般的n维空间,正交是垂直概念的推广。
利用正交概念,可以给齐次线性方程组Ax=0的解向量一个新的含意:
向量α是齐次线性方程组Ax=0的解向量的充分必要条件是,α与A的每个行向量都正交。
如果 a1,a2是两个线性无关的3维向量,(即不平行。)在三维空间内思考齐次线性方程组(a1,a2)x=0的解集,是一个很有趣的几何现象。两个互不平行的系数向量平行于同一平面,垂直于平面的每个向量,都是这个方程组的解。显然解集的秩为1。
向量内积满足交换律。如果已知齐次线性方程组Ax=0 的k个解,β1,…,βk , 我们作新的齐次线性方程组(β1,…,βk)x=0,则原方程组的每个系数行向量转置为列向量,都是这个新方程组的解。
例14非零正交向量组a1,a2,---,ak 一定是线性无关组。
分析设有一组数c1,c2,---,ck,使得c1a1+c2a2+---+ckak=0
(画外音:要记住这个“八股”开场白哦。)
等式两端分别和a1作内积,得c1a1·a1=0,只有c1=0;如法炮制,得常数全为0
例15设n维行向量组a1,a2,---,ak 线性无关,k<n,以它们为系数作有k个方程的齐次线性方程组。若向量β是这个方程组的非零解。试证向量组a1,a2,---,ak,β线性无关。
分析设有一组数c1,c2,---,ck,s,使得c1a1+c2a2+---+ckak+sβ=0
β是齐次线性方程组的非零解,它必与各系数行向量正交。
等式两端分别和β作内积,得sβ·β=0,只有s=0;代回等式去,再利用已知线性无关性可得常数全为0
*例15是原数学四的考题。它可以深化为,“……,若这个方程组有s个线性无关的非零解,k+s<n,则系数组与解组的合并组线性无关。”
在高级语言中,把向量空间的最大无关组称为空间的坐标基。简称为基(或基底)。齐次线性方程组的基础解系就是其解向量空间的基。无论在理论上或应用中,往往需要选择两两正交,模长皆为1的基向量组。称为“标准正交基”。《空解》背靠直角坐标系,以三个坐标轴方向的单位向量i,j,k为基向量组,给出了向量的坐标。i,j,k就是三维向量空间的一组标准正交基。
如果需要,可以用斯密特正交化方法,把已知的最大无关组改造为标准正交组。
(画外音:教材上介绍的这个古典方法被专家们发现有数值不稳定性,已被改进。)
斯密特正交化方法要点——不仿以改造三维向量空间里的线性无关组α,β,γ为例。
(1)将α单位化。仍记为α1
(2)选β1=cα1+β,用β1与α1正交的条件立方程确定c,最后单位化,记为α2
(画外音:这是在α,β所确定的二维子空间里挑选“替补队员”。)
(3)选γ1=sα1+tα2+γ,用γ1与α1,α2正交的条件确定s及t,最后单位化,记为α3
就这样,在研考范围内已经够用了。
向量内积,贯穿《线性代数》全书。学在前列,很有必要。
向量入门,《线代》入门。基本工具,无法回避。有志考研,愿君努力。
考研数学讲座(41)行列式与矩阵秩
行列式是n×n个元素的一种规定算法。非数学专业的学生学****这一部分时,要重在结论与方法,不要太在意行列式定义及行列式性质证明等细节。
代数余子式与行列式展开定理是这部分的重点。

n阶行列式划去第i行第j列后得到的n-1阶行列式,称为其元素aij的余子式。记为Δij;添加一个符号,又记Aij=(-1)的(i+j)次方Δij,称为其元素aij的代数余子式。
aij也有双重身份。既表示位于行列式第案i行第j列交叉处的元素,又代表那个位置。
某一行(列)元数的代数余子式有下述两个特点:
(1)它们的“外加符号”(-1)的(i+j)次方是顺次交错的。
(2)即便在行列式中将第i行元素划掉,它们的代数余子式的信息仍然还全部保留着。
 

代数余子式的基本作用就是给n阶行列式一个展开式。
行列式展开定理已知n阶行列式D,则对第i行,1≤i≤n,有
      ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=D
而i≠j时ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0
鉴于逆向思维的困难,我有意把第一个公式的左右端对调。
从右向左,叫n阶行列式D按第i行展开。(拉普拉斯展开定理的特殊情形。)
从左向右,强调第i行与自己的代数余子式行向量作内积,恰是原行列式。
定理的后式表明,第i行向量与别的任一行的代数余子式行向量正交。
思考(1)连续使用行列式展开定理,最终可以把n阶行列式表示为若干个3阶或2阶行列式的线性组合。
如果你能利用行列式的性质,(即把行列式的某行的k倍加到另一行,行列式的值不变。)先将n阶行列式D化为上(下)三角行列式,则D的值等于上(下)三角行列式主对角线上元素的连乘积。
思考(2)已知n阶行列式D,问,线性组合c1Ai1+c2Ai2+------+cnAin=?
与行列式展开定理公式对比,这个线性合相当于用系数行c1,c2,---,cn代替了(或说,具体化了)D的第i行。逆向思维,它等于D的第i行换成此系数行而得到的新行列式Di
例18已知四阶行列式D的第3行元数都是2,则A21+A22+A23+A24=0,为什么?
分析A21+A22+A23+A24等于将D的第2行元数全换为1而得到的新行列式。显然,这个行列式的第2行与第3行成比例。
例19设A是个n阶方阵。B是将A的第1行划去而得到的(n-1)×n阶矩阵。作齐次线性方程组Bx=0,你能用代数余子式概念,给出它的一个解吗?
分析仅仅划去方阵A的第1行,那就还保留着|A|的第1行元素的代数余子式信息。
第1行元素的代数余子式组成的向量,与其它各行都正交。因而它就是方程组Bx=0的一个解向量。
例20设n阶行列式D的第1行是n个可导函数,其它行的元都实数。则D是这n个可导函数的线性组合。为什么?
你能用行列式表示这个线性组合的导数吗?
分析你能左右运用行列式展开定理,“展开”“回收”自由,这类题就只是个小游戏。
对D按第1行展开,每个代数余子式就是一个实数。展开式就是那n个可导函数的线性组合。
线性组合的导数,是这n个函数的导数的线性组合。系数还是第1行元素的代数余子式。逆向思维,导数的线性组合就是行列式D的第1行各函数,分别换成其导数后得到的n阶行列式。
(潜台词:自己写个三阶情形,好好想想。)
(3)格莱姆法则_利用代数余子式,可以用消元法解有n个未知量n个方程的线性方程组Ax=b
如果D=|A|≠0,则方程组有唯一的解
x=(D1/D,------,Dn/D);Dj是将D的第j列换为常数列b而得到的行列式。
格莱姆法则的证明过程,是运用代数余子式的“正交消元法”。值得一看。
由此推得:
n个未知量n个方程的齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是|A|≠0
n个n 维向量线性无关的充分必要条件是,它们排成的行列式不为0
思考(4)设如果 A是n 阶方阵,且|A|=0,则由行列式展开定理知,A的任一行元素的代数余子式,与A的每个行