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第一章随机事件及其概率
§
一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件:
二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性:
§
古典概型公式:P(A)=
实用中经常采用“排列组合”的方法计算
补例1:将n个球随机地放到n个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?
解:设A:“每个盒子恰有1个球”。求:P(A)=?
Ω所含样本点数:
Α所含样本点数:
补例2:将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少?
解:设Ai:“信箱中信的最大封数为i”。(i=1,2,3)求:P(Ai)=?
Ω所含样本点数:
A1所含样本点数:
A2所含样本点数:
A3所含样本点数:
注:由概率定义得出的几个性质:
1、0<P(A)<1
2、P(Ω)=1,P(φ)=0
§
定理:设A、B是互不相容事件(AB=φ),则:
P(A∪B)=P(A)+P(B)
推论1:设A1、A2、…、An互不相容,则
P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
推论2:设A1、A2、…、An构成完备事件组,则
P(A1+A2+...+An)=1
推论3:P(A)=1-P()
推论4:若BA,则P(B-A)=P(B)-P(A)
推论5(广义加法公式):
对任意两个事件A与B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
补充——对偶律:
§
条件概率公式:
P(A/B)=(P(B)≠0)
P(B/A)=(P(A)≠0)
∴P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)
有时须与P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)中的P(AB)联系解题。
全概率与逆概率公式:
全概率公式:
逆概率公式:
(注意全概率公式和逆概率公式的题型:将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式。)
§
事件的独立性:
贝努里公式(n重贝努里试验概率计算公式):课本P24
另两个解题中常用的结论——
1、定理:有四对事件:A与B、A与、与B、与,如果其中有一对相互独立,则其余三对也相互独立。
2、公式:
第二章随机变量及其分布
一、关于离散型随机变量的分布问题
1、求分布列:
⑴确定各种事件,记为x写成一行;
⑵计算各种事件概率,记为pk写成第二行。得到的表即为所求的分布列。
注意:应符合性质——
1、(非负性)2、(可加性和规范性)
补例1:将一颗骰子连掷2次,以x表示两次所得结果之和,试写出x的概率分布。
解:Ω所含样本点数:6×6=36
所求分布列为:
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
pk
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
x
补例2:一袋中有5只乒乓球,编号1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以x表示取出3只球中最大号码,试写出x的概率分布。
解:Ω所含样本点数:=10
6/10
3/10
1/10
pk
5
4
3
x
所求分布列为:
2、求分布函数F(x):
分布函数
二、关于连续型随机变量的分布问题:
x∈R,如果随机变量x的分布函数F(x)可写成F(x)=,则x为连续型。称概率密度函数。
解题中应该知道的几个关系式:
第三章随机变量数字特征
一、求离散型随机变量x的数学期望Ex=?
数学期望(均值)
二、设x为随机变量,f(x)是普通实函数,则η=f(x)也是随机变量,求Eη=?
x
x1
x2
…
xk
pk
p1
p2
…
pk
η=f(x)
y1
y2
…
yk
以上计算只要求这种离散型的。
补例1:设x的概率分布为:
x
-1
0
1
2
pk
求:⑴,的概率分布;⑵。
解:因为
x
-1
0
1
2
pk
η=x-1
-2
-1
0
1
η=x2
1
0
1
4
所以,所求分布列为:
η=x-1
-2
-1
0
1
pk
和:
η=x2
1
0
1
4
pk
当η=x-1时,Eη=E(x-1)
=-2×+(-1)×+0×+1×+×
=1/4
当η=x2时,Eη=Ex2=1×+0×+1×+4×+×
=27/8
三、求x或η的方差Dx=?Dη=?
实用公式=-
其中,==
 =
补例2:
x
-2
0
2
pk
求:Ex和Dx
解:=-2×+0×+2×=-
2=(-2)2×+02×+22×=
=2-=-(-)2=
第四章几种重要的分布
常用分布的均值与方差(同志们解题必备速查表)
名称
概率分布或密度
期望
方差
参数
范围
二项分布
np
npq
0<P<1
q=1-p
正态分布
μ
μ任意
σ>0
泊松分布
不要求
λ
λ
λ>0
指数分布
不要求
λ>0
解题中经常需要运用的Ex和Dx的性质(同志们解题必备速查表)
Ex的性质
Dx的性质
————————
第八章参数估计
§(以下可作填空或选择)
⑴若总体参数θ的估计量为,如果对任给的ε>0,有
,则称是θ的一致估计;
⑵如果满足,则称是θ的无偏估计;
⑶如果和均是θ的无偏估计,若,则称是比有效的估计量。
§:
几个术语——
1、设总体分布含有一位置参数,若由样本算得的一个统计量及,对于给定的(0<<1)满足:
则称随机区间(,)是的100(1-)%的置信区间,和称为的100(1-)%的置信下、上限,百分数100(1-)%称为置信度。
一、求总体期望(均值)Ex的置信区间
1、总体方差已知的类型
①据,得=1-,反查表(课本P260表)得临界值;
②=③求d=④置信区间(-d,+d)
补简例:,,,,求总体均值μ的95%的置信区间。
解:①∵1-α=,α=
∴Φ(Uα)=1-=,反查表得:Uα=
②
③∵σ=,n=4∴d===
④所以,总体均值μ的α=:
(-d,+d)=(13-,13+)即(,)
2、总体方差未知的类型(这种类型十分重要!务必掌握!!)