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第一章概率论的基本概念
§、随机事件
,指事件A发生必然导致事件B发生
称为事件A与事件B的和事件,指当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件发生
称为事件A与事件B的积事件,指当A,B同时发生时,事件发生
称为事件A与事件B的差事件,指当且仅当A发生、B不发生时,事件发生
,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的,指事件A与事件B不能同时发生,基本事件是两两互不相容的
,则称事件A与事件B互为逆事件,又称事件A与事件B互为对立事件
结合律
分配律
徳摩根律
§
定义在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数称为事件A发生的频数,比值称为事件A发生的频率
概率:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率
:
(1)非负性:对于每一个事件A
(2)规范性:对于必然事件S
(3)可列可加性:设是两两互不相容的事件,有(可以取)
:
(i)
(ii)若是两两互不相容的事件,则有(可以取)
(iii)设A,B是两个事件若,则,
(iv)对于任意事件A,
(v)(逆事件的概率)
(vi)对于任意事件A,B有
§4等可能概型(古典概型)
等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同
若事件A包含k个基本事件,即,里
§
定义:设A,B是两个事件,且,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
条件概率符合概率定义中的三个条件
1。非负性:对于某一事件B,有
2。规范性:对于必然事件S,
3可列可加性:设是两两互不相容的事件,则有
乘法定理设,则有称为乘法公式
全概率公式:
贝叶斯公式:
§
定义设A,B是两事件,如果满足等式,则称事件A,B相互独立
定理一设A,B是两事件,且,若A,B相互独立,则
定理二若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:A与
第二章随机变量及其分布
§1随机变量
定义设随机试验的样本空间为是定义在样本空间S上的实值单值函数,称为随机变量
§2离散性随机变量及其分布律
离散随机变量:有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量
满足如下两个条件(1),(2)=1
三种重要的离散型随机变量
(1)分布
设随机变量X只能取0与1两个值,它的分布律是,则称X服从以p为参数的分布或两点分布。
(2)伯努利实验、二项分布
设实验E只有两个可能结果:A与,,,则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。
满足条件(1),(2)=1注意到是二项式的展开式中出现的那一项,我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
(3)泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…,而取各个值的概率为其中是常数,则称X服从参数为的泊松分布记为
§3随机变量的分布函数
定义设X是一个随机变量,x是任意实数,函数
称为X的分布函数
分布函数,具有以下性质(1)是一个不减函数(2)(3)
§4连续性随机变量及其概率密度
连续随机变量:如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数,使对于任意函数x有则称x为连续性随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度
1概率密度具有以下性质,满足(1);
(3);(4)若在点x处连续,则有
2,三种重要的连续型随机变量
(1)均匀分布
若连续性随机变量X具有概率密度,则成X在区间(a,b)
(2)指数分布
若连续性随机变量X的概率密度为其中为常数,则称X服从参数为的指数分布。
(3)正态分布
若连续型随机变量X的概率密度为的正态分布或高斯分布,记为
特别,当时称随机变量X服从标准正态分布
§5随机变量的函数的分布
定理设随机变量X具有概率密度又设函数处处可导且恒有,则Y=是连续型随机变量,其概率密度为
第三章多维随机变量
§1二维随机变量
定义设E是一个随机试验,它的样本空间是和是定义在S上的随机变量,称为随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机变量
设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数
如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)是离散型的随机变量。
我们称为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律。
对于二维随机变量(X,Y)的分布函数,如果存在非负可积函数f(x,y),使对于任意x,y有则称(X,Y)是连续性的随机变量,函数f(x,y)称为随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度。
§2边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为一个整体,,各自也有分布函数,将他们分别记为,依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。
分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。
分别称,为X,Y关于X和关于Y的边缘概率密度。
§3条件分布
定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若
则称为在条件下随机变量X的条件分布律,同样为在条件下随机变量X的条件分布律。
设二维离散型随机变量(X,Y)的概率密度为,(X,Y)关于Y的边缘概率密度为,若对于固定的y,〉0,则称为在Y=y的条件下X的条件概率密度,记为=
§4相互独立的随机变量
定义设及,分别是二维离散型随机变量(X,Y),y有,即,则称随机变量X和Y是相互独立的。
对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数
§5两个随机变量的函数的分布
1,Z=X+Y的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量,=X+Y仍为连续性随机变量,其概率密度为或
又若X和Y相互独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为则和这两个公式称为的卷积公式
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布
2,
设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度,则
仍为连续性随机变量其概率密度分别为又若X和Y相互独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为则可化为
3
设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为由于不大于z等价于X和Y都不大于z故有又由于X和Y相互独立,得到的分布函数为
的分布函数为
第四章随机变量的数字特征
§
定义设离散型随机变量X的分布律为,k=1,2,…若级数绝对收敛,则称级数的和为随机变量X的数学期望,记为,即
设连续型随机变量X的概率密度为,若积分绝对收敛,则称积分的值为随机变量X的数学期望,记为,即
定理设Y是随机变量X的函数Y=(g是连续函数)
(i)如果X是离散型随机变量,它的分布律为,k=1,2,…若绝对收敛则有
(ii)如果X是连续型随机变量,它的分概率密度为,若绝对收敛则有
数学期望的几个重要性质
1设C是常数,则有
2设X是随机变量,C是常数,则有
3设X,Y是两个随机变量,则有;
4设X,Y是相互独立的随机变量,则有
§2方差
定义设X是一个随机变量,若存在,则称为X的方差,记为D(x)即D(x)=,在应用上还引入量,记为,称为标准差或均方差。
方差的几个重要性质
1设C是常数,则有
2设X是随机变量,C是常数,则有,
3设X,Y是两个随机变量,则有特别,若X,Y相互独立,则有
4的充要条件是X以概率1取常数,即
切比雪夫不等式:设随机变量X具有数学期望,则对于任意正数,不等式成立
§3协方差及相关系数
定义量称为随机变量X与Y的协方差为,即
而称为随机变量X和Y的相关系数
对于任意两个随机变量X和Y,
协方差具有下述性质
1