平面向量知识点总结.doc

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平面向量知识点总结
基本知识回顾:
:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、:
,,,,
?用有向线段表示-----(几何表示法);AB
,,a?用字母、等表示(字母表示法);b
?平面向量的坐标表示(坐标表示法):
,,,a分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量i、作为基底。任作一个向量,由平xjy
,,,a面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得,叫做向量的(直xa(x,y),,xiyjy
,角)坐标,记作,其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,xaxaaxy,(,)yy
,,,,22axy,,i特别地,,,。;若,,A(x,y)B(x,y),(1,0),(0,1)j0(0,0),1122
22则,,,AB,x,x,y,yABxxyy,,,,()()21212121
、单位向量:
?长度为0的向量叫零向量,记为;0
a?长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.(注:就是单位向量)
|a|
:
?方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
,,,,,,,acacbb0?、、平行,记作??.共线向量与平行向量
关系:平行向量就是共线向量.
,,,,,ba,,0,与同向,方向---,,,,,,,,,,,,,ba,0,与反向,,性质:是唯一)abbab//(0)(,,,,,,,,,,||ab长度---,,,,
,,,,,,,,
abbxyxy//(0)0,,,,(其中axybxy,,(,),(,))12211122
:
?相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
,?垂直向量——两向量的夹角为,,2
,,,,,
性质:abab,,,0
,,,,,,
(其中)abxxyy,,,,0axybxy,,(,),(,)、减法:
?求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
平行四边形法则:
,,,,,,
(起点相同的两向量相加,常要构造平行四边形)ACab,,
,,,,,,
DBab,,
加法首尾相连,,,,三角形法则,减法终点相连方向指向被减数,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,——加法法则的推广:„„ABABBB,,,,BBn112nn,1
,,,,,,,,,,,,,,,,,
即个向量„„首尾相连成一个封闭图形,则有„„naaa,,aa,,,,a012nn12
,,,,,,,,aaaabbbb?向量的减法向量加上的相反向量,叫做与的差。即:,=+(,);
,,,,aaBAbb差向量的意义:OA=,OB=,则=,
,,,,ab,axy,(,)?平面向量的坐标运算:若,,则,(x,x,y,y),bxy,(,)11121222
,,,ab,,(x,x,y,y),。,,,axy,(,)1212
abbaabcabc?向量加法的交换律:+=+;向量加法的结合律:(+)+=+(+)
?常用结论:
,,,,,,,,,,,,1ADABAC,,()(1)若,则D是AB的中点2
,,,,,,,,,,,,,
GAGBGC,,,0(2)或G是?ABC的重心,则
7(向量的模:
,,,,,
1、定义:向量的大小,记为||或||aAB
2、模的求法:
,,22若,则||,,xyaaxy,(,)
,,,,22,,,,()()xxyy若,则||AxyBxy(,),(,)AB21211122
3、性质:
,,,,2222(1);(实数与向量的转化关系)||(0)||abbab,,,,||aa,
,,,,22(2),反之不然abab,,,||||
,,,,,,
(3)三角不等式:||||||||||ababab,,,,,
,,,,,,
(4)(当且仅当共线时取“=”)ab,||||||abab,
,,,,,,,,,,,,
即当同向时,;即当同反向时,ab,ab,abab,||||abab,,||||
(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,
,,,,,,2222即2||2||||||ababab,,,,,
,,aa8(实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ
,,aa(1)|λ|=|λ|||;
,,,,,aaaaa0(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=;
,,,,,,,,,aaaaaaabb(3)运算定律λ(μ)=(λμ),(λ+μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ
,,,,
abba,交换律:;
,,,,,,,
分配律:()abcacbc,,,
,,,,,,aaa()?=(?)=?();bbb
,,,,,,
——?不满足结合律:即()()abcabc,
,,2,,,,,,aa,,,?向量没有除法运算。如:,都是错误的,abcbac,,,
abb
,,
,(4)已知两个非零向量,它们的夹角为,则ab,
,,,,=ab||||cosab,
,,,,,,坐标运算:,则axybxy,,(,),(,)abxxyy,,11221212
,,,,,
l(5)向量在轴上的投影为:ABa,
,,,,
cos,,l,,,(为的夹角,为的方向向量)anan与
,,,an,n//,AB,其投影的长为(,为的单位向量)n||n||n
,,,,
,(6)的夹角和的关系:abab与
,,,,
,,0,,,(1)当时,同向;当时,反向ab与ab与
,,,,,,ab,0ab,0,,,,(2)为锐角时,则有;为钝角时,则有,,,,,,,,ab,不共线ab,不共线,,,,9(向量共线定理:
,,ab向量与非零向量共线(也是平行)的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使
,,ab=λ。
10(平面向量基本定理:
,a如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有ee12
,a且只有一对实数λ1,λ使=λ+λ。ee21212
(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;ee12
(2)基底不惟一,关键是不共线;
,a(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;ee12
,a(4)基底给定时,,λ是被,,唯一确定的数量。ee1212向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若
,,,,,,A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减‎‎去起点坐标OAAB
,,,,即若A(x,y),B(x,y),则=(x-x,y-y)AB11222121
:
,,??=||?||cos,其中?[0,π]为和的夹角。ababab
,?||cos称为在的方向上的投影。bba
??的几何意义是:的长度||在的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可abbba
负、也可是零),而不是向量。
,,?若=(,),=(x,),则xyyaba,b,xx,yy21121212?运算律:a?b=b?a,(λa)?b=a?(λb)=λ(a?b),(a+b)?c=a?c+b?c。,,xx,yyab,1212,?和的夹角公式:cos=,ab,,2222ab,x,y,x,y1122
2,,,222222x,y,a?||=x+y,或||=?|a?b|?|a|?|b|。a,a,a,aa
x,x,xy,y,y123123(,)33
:
,,,,,,符号语言:若?,?,则=λaba0ab
,,,,,,xx,12坐标语言为:设=(x,y),=(x,y),则?(x,y)=λ(x,y),即,,abab11221122,y,,y12,
或x1y2-xy=021
,,,,在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。abab
,,,,,|a||λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确abab,|b|
定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。:
,,,,符号语言:,??=0abab
,,,,,坐标语言:设=(x,y),=(x,y),则?xx+yy=0abab11221212