文档介绍：该【1996年考研数学二试题及答案 】是由【飞行的大山】上传分享，文档一共【16】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【1996年考研数学二试题及答案 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。1996年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题
一、填空题(此题共5
小题,每题3分,.)
x
2
(1)
设y
(x
e2)
3
,则y
x0
______.
1
1
x2)
2dx
(2)
(x
______.
1
微分方程y2y5y0的通解为______.
(4)
limxsinln(1
3)
sinln(1
1)
______.
x
x
x
(5)
由曲线y
x
1,x
2
及y
2所围图形的面积
S
______.
x
二、选择题(此题共
5小题,每题
3分,
,只有一项符
合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内
.)
(1)
设当x
0
时,
ex
(ax2
bx
1)是比x2高阶的无量小,则
()
(A)
a
1,b
1
(B)
a
1,b
1
2
(C)
a
1
1
(D)
a
1,b
1
,b
2
(2)
设函数f(x)在区间(
,
)内有定义,若当x
(
,)时,恒有|f(x)|
x2,则x0
必是f(x)的
(
)
(A)
中断点
(B)
连续而不行导的点
(C)可导的点,且f
(0)
0
(D)
可导的点,且f(0)
0
(3)
设f(x)到处可导,则
(
)
(A)
当lim
f(x)
,必有lim
f(x)
x
x
(B)
当lim
f(x)
,必有lim
f(x)
x
x
(C)
当lim
f(x)
,必有lim
f(x)
x
x
(D)
当lim
f(x)
,必有
lim
f(x)
x
x
1
1
(4)
在区间(
,
)内,方程|x|4
|x|2
cosx
0
(
)
(A)
无实根
(B)
有且仅有一个实根
优选
(C)
有且仅有两个实根
(D)
有无量多个实根
(5)
设f
(x),g(x)在区间
[a,b]上连续,且g(x)
f(x)
m(m为常数),由曲线y
g(x),
y
f(x),x
a及x
b所围平面图形绕直线
ym旋转而成的旋转体体积为
()
b
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
dx
(A)
2m
a
(B)
b
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
dx
2m
a
b
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
dx
(C)
m
a
(D)
b
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
dx
m
a
三、(此题共6小题,每题5分,满分30分.)
ln2
e2xdx.
(1)
计算
1
0
(2)
求
dx
.
1
sinx
x
t
d2y
(3)
设
f(u2)du,
0
2
2
此中f(u)拥有二阶导数
,且f(u)0,求dx2.
y
[f(t
)]
,
(4)
求函数f(x)
1
x在x0点处带拉格朗日型余项的
n阶泰勒睁开式.
1
x
(5)
求微分方程y
y
x2的通解.
设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴与底面成
角(0)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V.
2
四、(此题满分8分)
arctanx
计算不定积分x2(1x2)dx.
优选
五、(此题满分8
分)
1
2x2,
x
1,
设函数f(x)
x3,
1x
2,
12x
16,
x
2.
写出f(x)的反函数g(x)的表达式;
g(x)能否有中断点、不行导点,如有,指出这些点.
六、(此题满分
8
分)
设函数y
y(x)由方程2y3
2y2
2xy
x2
1所确立,试求y
y(x)的驻点,并鉴别
它能否为极值点.
七、(此题满分
8
分)
设f(x)在区间[a,b]上拥有二阶导数,且f(a)
f(b)
0,
f(a)f(b)0,试证明:
存在
(a,b)和
(a,b),使f(
)
0及f
()
0.
八、(此题满分
8
分)
设f(x)为连续函数,
(1)
yay
f(x),
求初值问题
的解y(x),此中a为正的常数;
yx0
0
(2)
若|f(x)|
k(k为常数),证明:当x0时,有|y(x)|
k(1
eax).
a
优选
1996年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题分析
一、填空题(此题共5小题,每题3分,满分15分.)
【答案】1
3
x
1
2
3
【分析】y
xe2
3
(2)【答案】2
1e
2
x
2
,yx0
2
1
1
1.
3
2
3
【分析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质
,有
1
2x1x2
1x2
dx
1
1dx022.
原式
x
2
2x1x2
1
1
【有关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质:
a
若f(x)在[a,a]上连续且为奇函数,则
a
f(x)dx0;
若f(x)在[
a,a]上连续且为偶函数
a
a
,则
f(x)dx2f(x)dx.
a
0
(3)【答案】y
e
x
ccos2x
csin2x
1
2
【分析】因为y
2y
5y
0是常系数的线性齐次方程
,其特点方程r2
2r
5
0有
一对共轭复根r1,r2
1
ex
c1cos2x
c2sin2x.
(4)【答案】2
【分析】因为x
时,
sinln1
k
:ln
1
k:
k(k为常数),所以,
x
x
x
原式
limxsinln
1
3
limxsinln
1
1
lim
x
3
lim
x1
3
1
2.
x
x
x
x
x
x
x
x
(5)【答案】ln2
1
2
【分析】曲线y
x
1,y
2的交点是1,2
,y
x
1
x2
2
1,当x
1时
x
x
x
1
(单一上涨)在y
2上方,于是
y
y
x
1
yx
x
x
2
S
2
x
1
2dx
1
x
1
2
1
x2
lnx
2x
ln2
.
2
1
2
O
1
2
x
二、选择题(此题共5小题,每题3分,满分15分.)
优选
【答案】(A)
【分析】方法1:
ex
ax2
bx
1
1
x
x2
x2
ax2
bx
1
2!
1bx
1
ax2
x2
令
x2,
2
1
b
0,
1,b
可得
1
a
0,
a
(A).
2
2
方法2:
lim
ex
(ax2
2
bx
1)
洛limex
2ax
b
0,
x
0
x
x
0
2x
有
lim
ex
2ax
b
1
b
0
b
1.
x
0
又由
limex
2ax
b
limex
2a
1
2a
0
a
1
.
x
0
2x
x0
2
2
2
应选(A).
(2)【答案】(C)
【分析】方法一:第一,当x
0
时,
|f(0)|
0
f(0)
0.
而依据可导定义我们观察
0
f(x)
f(0)
f(x)
x2
x
0(x
0),
x
x
x
由夹逼准则,
f
(0)
lim
f(x)
x
f(0)
0,故应选(C).
x
0
方法二:明显,
f(0)
0,由|f(x)|
x2
,x(
,
),得f(x)
1,x
(,0)U(0,),即
x2
f(x)有界,且
x2
f
(0)
lim
f(x)
f(0)
lim
f(x)
x
0.
2
x
0
x
x0
x
故应选(C).
方法三:清除法.
令f(x)x3,f(0)0,故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).
优选
【有关知识点】定理:有界函数与无量小的乘积是无量小.
【答案】(D)
【分析】方法一:(x)
x,则(A),(C)不对;又令f(x)
e
x,则(B)不对.
故应选择(D).
方法二:由limf(x)
,对于M
0,存在x0,使适当xx0时,f
(x)
M.
x
由此,当x
x0时,由拉格朗日中值定理,
f(x)
f(x0)f()(xx0)
f(x0)M(xx0)
(x
),
进而有lim
f
()
,故应选择(D).
x
x
【有关知识点】拉格朗日中值定理:假如函数
f(x)知足
在闭区间[a,b]上连续;
在开区间(a,b)内可导,
那么在(a,b)内起码有一点(a
b),使等式
f(b)f(a)
f()(ba)
成立.
【答案】(C)
1
1
【分析】令f(x)
|x|4
|x|2
cosx,
则f(x)
f(x),故f(x)是偶函数,观察f(x)
在(0,
)内的实数个数:
1
1
f(x)
x4
x2
cosx(x
0).
第一注意到f(0)10,f()
1
(
1
10,当0x
()4
)2
2
2
2
2
理,函数f(x)必有零点,且由
时,由零值定
3
1
f(x)
1x4
1x2
sinx
0,
4
2
f(x)在(0,
)单一递加,故f(x)有独一零点.
2
1
1
1
1
当x
f(x)
x4
x2
cosx
10,没有零点;
时,
()
4
()2
2
2
2
所以,f(x)在(0,
)有一个零点
.又因为f(x)
是偶函数,f(x)在(,
)有两个零点.
优选
故应选(C).
【有关知识点】零点定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即
f(a)f(b)0),那么在开区间(a,b)内起码有一点,使f()0.
【答案】(B)
y
【分析】
m
yf(x)
yg(x)
Oaxxdxbx
见上图,作垂直切割,相应于x,xdx的小竖条的体积微元
dV(mg(x))2dx(mf(x))2dx
(mg(x))(mf(x))(mg(x))(mf(x))dx
2mg(x)f(x)f(x)g(x)dx,
b
于是
应选择(B).
V2mg(x)f(x)f(x)g(x)dx,
a
三、(此题共6小题,每题5分,满分30分.)
【分析】方法一:换元法.
令1e2x
u,则x
1ln(1u2),dx
u
du,
2
1u2
ln2
2xdx
所以
1e
0
方法二:换元法.
令exsint,则x
3
u2
3
1
1
3
1
1
2
du
2(
1)du
2(
2)du
01u2
0
1u2
20
1u1u
3
1
1
u2
3
ln(2
3)
3
.
ln
u0
2
1
2
2
lnsint,dx
cost
dt,x:0ln2
t:
,
sint
2
6
1e2xdx
6cost
costdt
2
ln2
0
2
sint
6
1
sintdt
sint
优选
ln(csct
cott)2
cost2
ln(23)
3
.
6
6
2
方法三:分部积分法和换元法联合.
ln2
1dx
ln2
e2x
1d(ex)
原式
exe2x
0
0
ln2
ln2
2x
ex
e2x
e
dx
1
ex
0
0
2x
1
e
令ex
t,则x:0
ln2
t:1
2,
原式
【有关知识点】1.
3
2
dt
3
2
2
3
ln(t
t1)
ln(2
3).
1
2
2
t
1
2
1
2
cscxdx
1
dx
lncscxcotx
C,
sinx
,
dx
a2
lnx
x2
a2
C.
x2
(2)【分析】方法一:
1
dx
(1
(1
sinx)dx
1sinxdx
sinx
sinx)(1sinx)
cos2x
方法二:
方法三:换元法.
1
dx
sinxdx
2
dcosx
2
2
secxdx
2
cosx
1
cosx
cosx
tanx
C.
cosx
dx
dx
1sinx
(cos
x
x
2
sin
)
2
2
d(1
x
2
tan)
2
secx
dx
2
2
C.
(1
tanx)2
(1tanx)2
1
tanx
2
2
2
令tan
x
2
,sinx
2tant
2t
,
t,则x2arctant,dx
1t
2
2
t
1t
2
2
1
tan
1
2
dt
dt
2
C
2
C.
原式
1t
2
1
t
x
2t
2
(1t)2
1
1
2
tan
1t
2
【分析】这是由参数方程所确立的函数,其导数为
dy
dy
2f(t2)f(t2)2t
dt
(t
2
),
dx
dx
4tf
f(t2)
dt
优选
所以
d2y
d(dy)dt
d(4tf(t2))
dt
4f(t2)4tf(t2)2t
1
dx2
dtdx
dx
dt
dx
f(t2)
4
f(t2)
2t2f(t2).
f(t2)
(4)【分析】函数f(x)在x0处带拉格朗日余项的泰勒睁开式为
f(x)f(0)f(0)xL
f(n)(0)xn
f(n
1)(x)xn1,(0
1).
n!
(n
1)!
对于函数f(x)
1
x,有
1
x
f(x)
2
1
2(1
x)1
1,
1
x
f
(x)
2
(
1)(1
x)2,
f
(x)
2
(
1)(
2)(1
x)3,
,L,
f(n)(x)
2(
1)n
n!(1
x)(n1)
所以
f(n)(0)
2(
1)n
n!,
(n
1,2,3L),
故
f(x)
1
x
12x2x2
L(1)n2xn
(1)n1
2xn1n1(0
1).
1
x
(1
x)
(5)【分析】方法一:微分方程y
y
x2对应的齐次方程
y
y
0的特点方程为
r2
r
0,两个根为r1
0,r2
1,故齐次方程的通解为
y
c1
c2ex.
设非齐次方程的特解
Y
x(ax2
bx
c)
所以方程通解为yc1
c2ex
1x3
x2
2x
3
,代入方程能够获得a
1,b1,c2,
3
.
方法二:方程能够写成(y
y)
x2,积分得yy
x3
c0,这是一阶线性非齐次微分方
3
程,可直接利用通解公式求解
.通解为
dx
3
dx
ye((x
c0)edxC)
3
优选
e
x
((
x3
x
x
1
3
de
x
x
3
c0)edxC)e
(
x
c0eC)
3
ex
3
x
x
2
dx)c0Ce
x
3
(xe3e
x
x3
ex
exx2dx
c0Cex
x3
ex(exx2
2exxdx)c0Cex
3
3
x3
x
2
2e
xx
x
Ce
x
3
(ex
e)c0
x3
x
2
2x
c1
Ce
x
3
.
方法三:作为可降阶的二阶方程
,令y
P,则y
P,
方程化为P
Px2,这是一阶线性
非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解
.通解为
P
ex(c0
x2exdx)
ex(c0
x2ex
2xex
2ex)
c0ex
x2
2x
2.
再积分得
y
c1
c2ex
x3
x2
2x.
3
【有关知识点】
:设
y*(x)是二阶线性非齐次方程
y
P(x)y
Q(x)y
f(x)(x)是与之对应的齐次方程
y
P(x)y
Q(x)y
0的通解,则y
Y(x)y*(x)是非齐次方程的通解.
二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法:对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y(x),可用特点方程法求解:即yP(x)yQ(x)y0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程
,在复数域内解出两个特点根r1,r2;
分三种状况:
两个不相等的实数根r1,r2,则通解为yC1erx1C2er2x;
(2)
两个相等的实数根r1
r2,则通解为y
C
C
xerx1
;
1
2
(3)
一对共轭复根r1,2
i
,则通解为y
ex
C1cos
xC2sin
,C2
为常数.
y
P(x)yQ(x)y
f(x)的一个特解
y*(x),可用待定
优选