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一、选择题
:函数f(x)=x-logx在区间内存在零点,命题q:存在负数x使得x>x。给出以下四个命题:①p或q;②p且q;③p的否认;④( )
解析命题p为假命题,.
答案 B
2。命题p:存在n∈N,2n〉1000,那么非p为( )
∈N,2n≤1000 ∈N,2n〉1000
∈N,2n≤1000 ∈N,2n〈1000
解析:特称命题的否认是全称命题,即p:存在x∈M,p(x),那么非p:任意x∈M,非p(x).
答案:A
+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是( ).
<a≤<1
≤<a≤1或a<0
解析 (挑选法)当a=0时,原方程有一个负的实根,可以排除A、D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B,应选C.
答案 C
:x2-2x-3≥0,q:x∈Z。假设p且q,非q同时为假命题,那么满足条件的x的集合为( )
A.{x|x≤-1或x≥3,x∉Z}
B.{x|-1≤x≤3,x∈Z}
C.{x|x<-1或x>3,x∉Z}
D.{x|-1<x<3,x∈Z}
解析p:x≥3或x≤-1,q:x∈Z,那么由p且q,非q同时为假命题知,p假q真,所以x满足-1<x<3且x∈Z,故满足条件的集合为{x|-1〈x〈3,x∈Z}.
答案 D
:
①命题“存在x∈R,x2+1>3x”的否认是“任意x∈R,x2+1<3x”;
②p、q为两个命题,假设“p或q”为假命题,那么“非p且非q为真命题”;
③“a>2”是“a〉5”的充分不必要条件;
④“假设xy=0,那么x=0且y=0”的逆否命题为真命题.
其中所有真命题的序号是( )
A.①②③ B.②④
C.② D.④
解析:命题“存在x∈R,x2+1〉3x”的否认是“任意x∈R,x2+1≤3x”,故①错;“p或q”为假命题说明p和q都假,那么非p且非q为真命题,故②对;a〉5⇒a>2,但a〉2a〉5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故③错;“假设xy=0,那么x=0且y=0"为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错.
答案:C
( ).
“假设m>0,那么方程x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为:“假设方程
x2+x-m=0无实数根,那么m≤0”
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
,那么p,q均为假命题
:存在x∈R,使得x2+x+1<0,那么非p:任意x∈R,均有x2+x+1≥0
解析 依次判断各选项,易知只有C是错误的,因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中,只要一个为假整个命题为假.
答案 C
:存在x∈R,mx2+2≤0。q:任意x∈R,x2-2mx+1>0,假设p或q为假命题,那么实数m的取值范围是( ).
A.[1,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.[-1,1]
解析 (直接法)∵p或q为假命题,∴p和q都是假命题.
由p:存在x∈R,mx2+2≤0为假,得任意x∈R,mx2+2>0,∴m≥0.①
由q:任意x∈R,x2-2mx+1>0为假,得存在x∈R,x2-2mx+1≤0,
∴Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1。
答案 A
【点评】此题采用直接法,就是通过题设条件解出所求的结果,多数选择题和填空题都要用该方法,是解题中最常用的一种方法。
二、填空题
“xy=0”的否认是________.
解析方法1:记命题p1:x=0,p2:y=0,那么命题xy=0即命题p1∨p2,其否认是(非p1)且(非p2),非p1:x≠0,非p2:y≠0,故命题xy=0的否认是“x≠0且y≠0”.
方法2:xy=0的否认即xy≠0,即“x≠0且y≠0".
答案x≠0且y≠0
:f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数;命题q:不等式
(x-1)2〉“p或q”为真,命题“p且q”为假,那么实数m的取值范围是________.
解析由f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数,得1-2m>0,即m<,由不等式(x-1)2〉m的解集为R,得m<“p∨q”为真,命题“p且q”为假,那么需要两个命题中只有一个正确,而另一个不正确,故0≤m〈.
答案0≤m<
(x):ax2+2x+a>0,假设对任意x∈R,p(x)是真命题,那么实数a的取值范围是________.
解析 ∵对任意x∈R,p(x)是真命题.
∴对任意x∈R,ax2+2x+a>0恒成立,
当a=0时,不等式为2x>0不恒成立,
当a≠0时,假设不等式恒成立,
那么∴a>1。
答案 a>1
“对任意x〉1,x2〉1”的否认是________.
解析:这是一个全称命题,其否认是“存在x0〉1,使得x≤1”.
答案:存在x0〉1,使得x≤1
“任意x∈R,x2-5x+a>0”的否认为假命题,那么实数a的取值范围是________.
解析 由“任意x∈R,x2-5x+a>0”的否认为假命题,
可知命题“任意x∈R,x2-5x+a>0”必为真命题,
即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.
设f(x)=x2-5x+a,那么其图像恒在x轴的上方.
故Δ=25-4×a<0,解得a>,即实数a的取值范围为。
答案
三、解答题
:函数f(x)=x3-ax-1在区间[-1,1]上单调递减;命题q:函数y=ln(x2+ax+1),p且q为假命题,求a的取值范围.
解析p为真命题⇔f′(x)=3x2-a≤0在[-1,1]上恒成立⇔a≥3x2在[-1,1]上恒成立⇔a≥3.
q为真命题⇔Δ=a2-4≥0恒成立⇔a≤-2或a≥2。
由题意p和q有且只有一个是真命题.
p真q假⇔⇔a∈∅;
p假q真⇔⇔a≤-2或2≤a<3。
综上所述:a∈(-∞,-2]∪[2,3).
,并判断真假:
(1)存在一个三角形是正三角形;
(2)至少存在一个实数x0使x-2x0-3=0成立;
(3)正数的对数不全是正数.
解析(1)任意的三角形都不是正三角形,假命题;
(2)对任意实数x都有x2-2x-3≠0,假命题;
(3)正数的对数都是正数,假命题.
:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,命题q:方程4
x2+4(m-2)x+1=,p且q为假,务实数m的取值范围.
解析由得:p,q中有且仅有一个为真,一个为假.
命题p为真⇔
命题q为真⇔Δ〈0⇒1<m<3。
(1)假设p假q真,那么⇒1〈m≤2;
(2)假设p真q假,那么⇒m≥3。
综上所述:m∈(1,2]∪[3,+∞).
>0,设命题p:函数y=:当x∈时,函数f(x)=x+>,.
解析 由命题p知:0<c<:2≤x+≤
要使此式恒成立,那么2>,即c>.
又由p或q为真,p且q为假知,p、q必有一真一假,
当p为真,q为假时,c的取值范围为0<c≤。
当p为假,q为真时,c≥1。
综上,c的取值范围为。