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高中数学知识点汇编
第一章集合
1(集合:某些指定的对象集在一起成为集合。
1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;若b不是集合A的元素,(a,A
记作;b,A
(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;
确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;
无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同与元素的排列顺序无关;(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
*正整数集,记作N或N;+
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作R。
2(集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);A,B,
集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;,,
若AB且A?B,则称A是B的真子集,记作AB;,
(2)简单性质:1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A,,,,,,
nn是n个元素的集合,则集合A有2个子集(其中2,1个真子集);3(全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
C{x|x,S且x,A}(2)若S是一个集合,AS,则,=称S中子集A的补集;,S
CCCC,(3)简单性质:1)()=A;2)S=,=S。,SSSS
4(交集与并集:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交
A,B,{x|x,A且x,B}集。交集。
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。。并集A,B,{x|x,A或x,B}
注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。5(集合的简单性质:
(1)A,A,A,A,,,,,A,B,B,A;
(2)A,,,A,A,B,B,A;
(3)(A,B),(A,B);
(4);A,B,A,B,A;A,B,A,B,B
CCCCCC(5)(A?B)=(A)?(B),(A?B)=(A)?(B)。SSSSSS
第二章函数
(一)函数的概念与表示
1(函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数。记作:y=f(x),x?A。其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x?A}叫做函数的值域。
注意:(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;
(2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x。
2(构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:
?自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);
?限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学****中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;
?实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
?配方法(将函数转化为二次函数);?判别式法(将函数转化为二次方程);?不等式法(运用不等式的各种性质);?函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)。
3(两个函数的相等:
函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函
数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。
4(区间
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示。
5(映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A
,中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB
,为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。
注意:(1)这两个集合有先后顺序,A到B的映射与B到A的映射是截然不同的(其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。
(2)“都有唯一”什么意思,
包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。
6(常用的函数表示法
(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;
(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
7(分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数;
8(复合函数
若y=f(u),u=g(x),x,(a,b),u,(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域。
(二)函数的基本性质
1(奇偶性
(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(,x)=,f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(,x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x),则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:
1?函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
2?由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则,x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1?首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
2?确定f(,x)与f(x)的关系;
3?作出相应结论:
若f(,x)=f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(,x)=,f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:
?图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
DD,?设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:fx()gx()12
,,,奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
2(单调性
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x,x,当x<x时,都有f(x)<f(x)(f(x)>f(x)),那么就说f(x)在区间12121212
D上是增函数(减函数);
注意:
1?函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2?必须是对于区间D内的任意两个自变量x,x;当x<x时,总有f(x)<f(x)121212
(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
(3)设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间,B是映射g:x?u=g(x)的象集:
?若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是增函数;
?若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。
(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
1?任取x,x?D,且x<x;1212
2?作差f(x),f(x);12
3?变形(通常是因式分解和配方);
4?定号(即判断差f(x),f(x)的正负);12
5?下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。
(5)简单性质
?奇函数在其对称区间上的单调性相同;
?偶函数在其对称区间上的单调性相反;
?在公共定义域内:
f(x),g(x)增函数增函数是增函数;
f(x),g(x)减函数减函数是减函数;
f(x),g(x)增函数减函数是增函数;
f(x),g(x)减函数增函数是减函数。
3(最值
(1)定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:?对于任意的x
?I,都有f(x)?M;?存在x?I,使得f(x)=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。00
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:?对于任意的x?I,都有f(x)?M;?存在x?I,使得f(x)=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。00
注意:
1?函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x?I,使得f(x)=M;00
2?函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x?I,都有f(x)?M(f(x)?M)。
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:
1?利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;
2?利用图象求函数的最大(小)值;
3?利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
4(周期性
(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数;
TT(2)性质:?f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中,存在一个最小f(x,),f(x,),22
的正数,则称它为f(x)的最小正周期;?若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω?0)是
T周期函数,且周期为。||,
(三)基本初等函数
1(指数与对数运算
(1)根式的概念:
,na(n,1,且n,N)an?定义:若一个数的次方等于,则这个数称的次方根。即若
,nxann,1且n,N),则称的次方根,x,a
nna1)当为奇数时,次方根记作;a的n
nanan2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记
n,a(a,0)作。
nnnn(a),an?性质:1);2)当为奇数时,;a,a
a(a,0),nn3)当为偶数时,a,|a|,。,,a(a,0),
(2)(幂的有关概念
n0*a,a,a,?,a(n,a,1(a,0)?规定:1)N;2);
n个
m1nmp,*na,a(a,0,m3)Q,4)、n,N且。n,1)a,(p,pa
rsr,ss,a,a,a(a,0,r?性质:1)、Q);
rsr,ss,(a),a(a,0,r2)、Q);
rrr(a,b),a,b(a,0,b,0,r,3)Q)。
s,(注)上述性质对r、R均适用。(3)(对数的概念
ba(a,0,且a,1)aa,Nb?定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的
logN,b,a对数,记作其中称对数的底,N称真数。a
logN1)以10为底的对数称常用对数,记作lgN;10
logN2)以无理数e(e,?)为底的对数称自然对数,,记作;lnNe
?基本性质:
log1,01)真数N为正数(负数和零无对数);2);a
logNaloga,13);4)对数恒等式:。a,Na
?运算性质:如果a,0,a,0,M,0,N,0,则
log(MN),logM,logN1);aaa
M2)log,logM,logN;aaaN
nlogM,nlogM(n,3)R)。aa
logNmlogN,(a,0,a,0,m,0,m,1,N,0),?换底公式:alogam
nnlogb,loga,11);2)logb,logb。mabaam2(指数函数与对数函数
(1)指数函数:
xy,a(a,0,且a,1)?定义:函数称指数函数,
(0,,,)1)函数的定义域为R;2)函数的值域为;
3)当时函数为减函数,当时函数为增函数。0,a,1a,1
?函数图像: