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主讲人:杨时武
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Ⅰ、观察与思考:下面的几个数列:
问题:从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点?
分析:后一项与前一项的差的特点是:
归纳:这些数列
导入
是常数1
是常数-3
是常数1/10
从第2项起它们的后一项与前一项的差都是同一个常数。
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这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示。
等差数列的首项用字母a1表示。
一、等差数列的定义:
例1:观察下列数列是否是等差数列:
等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那麽这个数列就叫做等差数列。
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解析:(1)、该数列的第2项与第一项的差是1,其余的后一项与
前一项的差都是2。不符合等差数的定义要求从第2项
起后项与前项的差是同一个常数。
所以,它不是等差数列。
(2)、是。它符合等差数列的定义。
(3)、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是:
1,2,3,4,5,‥‥是常数,但不是同一常数。
所以不是。
1、等差数列要求从第2项起,后一项与
前一项作差。不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。
可以是整数,也可以是0和负数。
评注:
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二、等差数列的通项公式:
等差数列{an}的首项是a1,公差是d,如:
那麽,则由定义得:
a2-a1=d(1)
a3-a2=d(2)
a4-a3=d(3)
a5-a4=d(4)
、、、、、
an-an-1=d
分析:如果把左边由(1)式到最后一个式子,共_____个式子相加,则有:
n-1
等号左边为:an-a1,
等号右边为:(n-1)d
所以:an-a1=(n-1)d,即
an=a1+(n-1)d
当n=1时,上式两边都等于a1。∴n∈N*,公式成立。
∴等差数列的通项公式是:
an=a1+(n-1)d
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(1)、求等差数列10,8,6,4,‥‥的第20项。
分析:根据a1=10,d=-2,先求出通项公式an,再求出a20
解:∵a1=10,d=8-10=-2,n=20
由an=a1+(n-1)d得
∴a20=a1+(n-1)d
=10+(20-1)×(-2)
=-28
通项公式的应用:
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解:∵a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴an=-5+(n-1)×(-4)
=-4n-1
∵-401=-4n-1
∴n=100
∴-401是该数列的第100项。
分析:根据a1=-5,d=-4,先求出通项公式an,再把–401代入,然后看是否存在正整数n。
(2)、-401是不是等差数列–5,-9,-13,‥‥
的项?如果是,是第几项?
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解:由题意可得
a1+5d=12(1)
﹛
a1+17d=36(2)
∴an=2+(n-1)×2=2n
∴a1=2d=2
此题解法是利用数学的函数与方程思想,函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一,也是高考必考的思想方法,应熟悉并掌握。
例3:在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,求首项a1,公差d及通项an。
分析:此题已知a6=12,n=6;a18=36,n=18分别代入通项,公式an=a1+(n-1)d中,可得两个方程,都含a1与d两个未知数组成方程组,可解出a1与d。
***********
评注:
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1、(1)、求等差数列3,7,11,‥‥的第4项和第10项?
(2)、100是不是等差数列2,9,16,‥‥的项?
如果是,是第几项?如果不是,说明理由。
(3)、-20是不是等差数列0,-,-7,‥‥的项?
如果是,是第几项?如果不是,说明理由。
练习:
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解:(1)、∵a1=3,
d=7-3=4
∴an=3+4(n-1)
=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10–1=39
(2)、∵a1=2,
d=9-2=7
∴an=2+7(n-1)
=7n-5
∵100=7n-5
∴n=15
∴100是该数列的第15项。
(3)、∵a1=0,
d=--0
=-
∴an=0-(n-1)
=-+
∵-20=-+
∴-20不是该数列的项。
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