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第一单元
观察物体
三)
观察物体(三):拼摆几何体给出一个(或两个)方向观察的图形无法确定立体图形的形状,由三个方向观察到的图形就可以确定立体图形的形状并还原立体图形。
根据从一个方向看到的图形,可以拼摆不同的几何体;
根据看到的三个面的形状摆小正方体,一般情况下,只有1种摆法,但有时会出现多种摆法。
【要点提示】从多个角度观察立体图形时,先根据平面图分析出要拼搭的立体图形有几层;然后确定要拼搭的立体图形有几排;最后根据平面图形确定每层和每排的小正方体的个数。
第二单元因数与倍数
因数和倍数
定义:在整数除法中,如果商是整数而没有余数,则被除数是除数和商的倍数,除数和商是被除数的因数。
【要点提示】
因数与倍数是相互依存的,不能说谁是倍数,谁是因数,应该说谁是谁的倍数,谁是谁的因数。
找一个数的因数的方法
列除法算式
用此数分别除以x(1WxW它本身,x是整数),所得的商是整数且没有余数,
这些除数和商就是这个数的因数。
列乘法算式
把这个数写成两个整数相乘的形式,算式中的每个整数都是这个数的因数。
找一个数的倍数的方法
列除法算式
看哪些非0的自然数除以这个数商是整数且没有余数,这些数就是这个数的倍数。②列乘法算式
用这个数依次与非0自然数相乘,所得的积就是这个数的倍数。
找一个数的因数和倍数的表示方法
①列举法②集合法
3的倍数表示方法列举法:3,6,9,12,集合法:
18的因数表示方法列举法:1,2,3,6,9,18。
集合法:
18的因数
要点提示】
3的倍数
3,6,9,12,…
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本
身。
潦一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大倍数。潦一个数的最大因数与最小倍数相同,都是它本身。
2、3、5的倍数
(1)2、3、5、9的倍数特征个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数,是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。一个数各位上的数的和是9的倍数,这个数就是9的倍数。
【要点提示】
潦个位上是0的数既是2的倍数,又是5的倍数;
潦一个数如果是9的倍数,就一定是3的倍数;
潦同时是2、3、5的倍数个位上必须是0,且各个数位上的数字之和是3的倍数。
(2)奇数和偶数奇数和偶数是通过看一个数是否是2的倍数来区分的。自然数中:①是2的倍数叫作偶数
不是2的倍数叫作奇数
【注意】
0的特殊性:0其实也是2的倍数,0除以任何数都是0,则0是任何非0自然数的倍数,任何非0自然数都是0的因数,为了方便,在研究因数和倍数时,所说的数一般指的是不包括0的自然数。
数的奇偶性
(1)和差的奇偶性(大数减小数)奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数
【要点提示】
潦几个偶数相加和仍然是偶数;潦几个奇数相加的和取决于奇数的个数,
奇数个奇数相加时,和是奇数;
偶数个奇数相加时,和是偶数。
(2)积的奇偶性
奇数X奇数二奇数
奇数X偶数二偶数
偶数X偶数二偶数
【要点提示】
几个自然数相乘,乘数都是奇数,积一定是奇数;乘数中只要有一个偶数,积一定是偶数。
质数与合数
质数与合数
质数:有且只有2个因数,1和它本身。
合数:至少有3个因数,1、它本身、别的因数。
1:只有1个因数,“1”既不是质数,也不是合数。
20与100以内的质数
100以内的质数:25个;
20以内的质数:8个;
最小的质数是2,最小的合数是4;
2是唯一的偶质数。
100以内的质数表
2
3
5
7
11
13
17
~9
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
的质数
「都是奇
徴,1.
W奇数:
不一定
都是质
数;
滌100以内的质数表
【要点提示】
潦除2以外,所有
除0、2以外,所有的偶数都是合数,但合数不一定都是偶数。
分解质因数
潦如果一个数的因数是质数,那么这个因数就是它的质因数。潦把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。
第三单元长方体和正方体
1)长方体和正方体
高h
(2)长方体和正方体的关系
形体
长方体
正方体
相同点
都有6个面、卫条檯、E个顶点
不同点
濃6个面是长方形
(特殊惰况下2个相对的面杲于方形)潦相对的面完全相同
E个面都是正方形,所有的面完全相同,所有的棱长度相等
联系
正方体是特殊的怅方休
【要点提示】
滌棱长和:①长方体的棱长和二4条长+4条宽+4条高二4X(长+宽+高)
正方体的棱长和二棱长X12
长方体和正方体的表面积
(1)表面积:长方体或正方体6个面的总面积,叫做它的表面积。
长方体的表面积二(长X宽+长X高+宽X高)X2
字母表示:S=(ab+ah+bh)X2
正方体的表面积二棱长X棱长X6
字母表示:S=6a2
【要点提示】
在实际生活中,并不是所有的长方体形状的物体都有6个面,不足6个面的,要先判断是哪个面没有。
(2)表面积的变化问题
把一个长方体(或正方体)切成n段,需要锯n—1次,每锯一次增加2个面,则锯n—1次增加2(n—1)个面。
多个长方体拼成一个长方体时表面积的变化:
2个相同的长方体拼在一起时,重叠在一起的两个面的面积最大,拼成的新长方体的表面积就最小;重叠在一起的两个面的面积最小,拼成的新长方体的表面积就最大。
n个正方体排成一行拼叠成一个长方体时,拼了n—1次,它的表面积相对原来的面积和减少了2(n—1)个正方形的面。
3•长方体和正方体的体积
(1)体积:物体所占空间的大小
长方体的体积二长X宽X高;用字母V表示体积:V=abh
正方体的体积二棱长X棱长X棱长
字母表示:V=a3
【要点提示】
它的棱长就扩大到原来的n倍;它的表面积就扩大到原来的冲倍;
它的体积就扩大到原来的卡倍。
潦长方体和正方体体积统一公式,用字母S表示底面积:V=Sh0潦如果正方体的棱长扩大到原来的n倍,那么:
(2)体积单位
常见的体积单位有:立方厘米、立方分米、立方米用字母表示分别是:cm3、dm3、m3
体积单位间的进率及换算:
相邻的两个体积单位之间的进率是10001m3=1000dm3=1000000cm31dm3=1000cm3
X1QOOOOQ
W1000000
体积单位间的互化
把低级单位转化成高级单位,用低级单位的数除以进率;把高级单位转化成低级单位,用高级单位的数乘进率。
(1)容器与容积
玻璃杯、饮料瓶都是空心的,可以盛装其他物体,通常被称为容器。
容器所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。
(2)容积单位
常用单位(计量液体的容积,如水、油等)
升、毫升,用字母表示:L;毫■-►mL
□计量容器也可以用体积单位,尤其在计量容器可装多少固体时,通常都用体积单位:
cm3、dm3、m3
【要点提示】
体积与容积的区别
□从意义来说:体积表示的是物体所占空间的大小,容积表示的是容器所能容纳物体的体积。
潦从测量方法来说:体积是从物体的外部测量,而容积是从物体的内部测量。
潦从它们的大小来说:同一个容器,体积大于容积,当容器壁很薄时,容积近似等于体积;如果容器壁的厚度不计时,那么容器的容积就等于体积。
有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一定有容积。
(3)容积单位与体积单位的进率
1L=1000mL1L=Idm?1mL=Icm?
【要点提示】
①长方体或正方体容器容积的计算方法和体积的计算方法相同,但要从容器的里面量长、宽、高。
用排水法求不规则物体的体积,水面上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
□用排水法求体积要记录好物体放入水前的体积和物体放入后的总体积(或者说水面上升前后的水位高度)。
【要点提示】
升高部分水的体积,就是不规则物体的体积:
潦总体积一水的体积二不规则物体的体积;
潦不规则物体的体积二升高部分水的体积二容器的底面积X水面升高的高度。
第四单元分数的意义和性质
(1)单位1:一个物体、一些物体等都可以看作一个整体,这个整体可以用自然数1来表示,通常把它叫做单位1。
(2)分数:
把单位1平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。
分数的形式可以用「来表示(m、n为自然数,且m^O)
【要点提示】
潦把谁平均分,就应该把谁看作单位1;
潦若干是指不定量,可以是除0以外的任意整数份,但必须是平均分才可以用分数表示。
潦比较大小时,找准单位1,单位1不同,相同的分数对应的具体量也不同。
(3)分数单位
把单位1平均分成若干份,表示其中的1份的数叫分数单位。
【注意】一般情况下,把分子是1,分母是大于1的自然数的分数叫作单位分数。
1
则最大的分数单位是-。
2
【要点提示】
潦一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一,分子是几,它就有几个这样的分数单位。
(4)分数与除法
两个整数相除,可以用分数表示商:a-b^((b^O)
b
求一个数是另一个数的几分之几:
—个数
一个数-另一个数二(得到的商表示两个数的关系,没有单位名称)
另一个数
【要点提示】
潦分数不但可以表示部分与整体的关系,还可以表示具体的数量,表示具体数量,不要忘了加单位。
潦分子是几,它就有几个这样的分数单位。
潦通常两个数相除,如果商是整数,则两个数的关系就用几倍来表示;
如果商是小数,则两个数的关系就用几分之几来表示。
2•真分数和假分数
(1)真分数、假分数、带分数
潦真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
潦假分数:分子大于或等于分母的分数。假分数大于或等于1。
□带分数:由一个整数(不包括0)和一个真分数组成的数叫做带分数。
带分数大于1。
【要点提示】
潦带分数是假分数的一种特殊表现形式,用带分数可以迅速估计分数值的大小。
□任何整数(0除外)都可以化成分母是1的假分数。
□1可以化成分子和分母(0除外)相同的任意分数。
(2)假分数与带分数的互化
□假分数化成整数或带分数:用分子除以分母
①当分子是分母的倍数时,能化成整数,商就是这个整数;
②当分子不是分母的倍数时,能化成带分数,商是带分数的整数部分,余数是带分数的真分数部分的分子,分母不变。
带分数化成假分数
用带分数中分数部分的分母作为分母,把它的整数部分的整数乘以这个分母以后,
再加上原分数部分的分子作为假分数的分子:
(1)分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。【要点提示】
潦根据分数的基本性质可以把分母不同的分数化成分母相同的分数,还可以把一个分数化成指定分母的分数。
潦利用分数的基本性质要注意:一看、二变、三算
一看:变化量一一分子或分母如何变化;
二变:根据变化量,确定另一个量的变化;
三算:根据分数的基本性质算出变化后的分数。
(1)约分和最简分数
约分:把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数最简分数:分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
【要点提示】
潦约分的方法:
逐步约分法一一用分子和分母的公因数依次去除分子和分母,直到得出一个最简分数。
一次约分法一一直接用分子和分母的最大公因数去除分子和分母。
潦约分时,通常约成最简分数。
一个分数要是最简真分数,必须满足两个条件:①分子必须比分母小;②分子和分母的公因数只有1。
(2)通分:把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。【要点提示】
潦通分的方法:通分时,一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母,然后把各分数分别化成用这个公分母作分母的分数。
潦异分母分数比较大小:先通分,把异分母分数转化成同分母分数,然后再比较大小。
公因数与最大公因数
(1)意义:几个数公有的因数叫做这几个数的公因数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
(2)求两个数最大公因数的方法
列举法:先分别写出两个数的所有因数,再从中找出它们公有的因数,从中找出最大的。
筛选法:先写出较小数的所有因数,再从中找出同时是较大数的因数的数,即它们的公因数,最后确定最大公因数。
分解质因数法:先分别把两个数分解质因数,再找出它们公有的质因数,公有的质因数的乘积就是它们的最大公因数。
短除法:先把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数,连续去除这两个数,直到得出两个商是互质数为止,再把所有的除数相乘,所得的积就是这两个数的最大公因数。
【注意】用列举法和筛选法:一般适合较小的数,而分解质因数法和短除法适合任意的数。
【要点提示】
潦求两个数最大公因数的特殊情况
当两个数成倍数关系时,较小的数就是它们的最大公因数。
当两个数是互质数时,最大公因数就是1。
公倍数与最小公倍数
(1)意义:几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
(2)求两个数最小公倍数的方法
列举法:先分别写出两个数各自的倍数,再从中找出它们的公倍数和最小公倍数。
筛选法:先写出两个数中较大数(或较小数)的倍数,然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小数(或较大数)的倍数,第一个圈出的就是它们的最小公倍数。
分解质因数法:先分别把两个数分解质因数,公有的质因数对齐写,特有的质因数单独写。然后公有的质因数取一个,特有的质因数都取出来,把它们连乘,所得的积就是它们的最小公倍数。
短除法:
用两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数连续去除这两个数,一直除到所得的商只有公因数1为止,然后把所有的除数和最后的商连乘,所得的积就是它们的最小公倍数。
【要点提示】
潦两个数的最小公倍数可以用[]表示,如6和9的最小公倍数是18,
可以表示为[6,9]=18。
潦一个数的倍数的个数是无限的,因此两个数或多个数的公倍数的个数也是无限的,只有最小公倍数,没有最大公倍数。
滌求两个数最小公倍数的特殊情况
当两个数成倍数关系时,较大的数就是它们的最小公倍数。
当两个数是互质数时,这两个数的积就是它们的最小公倍数。
潦两个数的公倍数一定是它们的最小公倍数的倍数,最小公倍数是公倍数的因数
分数与小数的互化
(1)小数化成分数:把有限小数可以直接写成分母是10、100、1000,的
分数。
原来是几位小数,就在1后面写几个0做分母,把原来的小数去掉小数点后
做分子,能约分的都应约成最简分数。
(2)分数化成小数:①分母是10、100、1000,的分数化成小数,可以直接去掉分母,看1后面有几个0,就在分子中从最后一位起向左数出几位,点上小数点;
②分母不是10、100、1000,…的分数,用分子除以分母,除不尽时,要根据需要按四舍五入法保留几位小数。
【要点提示】
几种情况:
❶只含有质因数2
❷只含有质因数5
❸只含有质因数2和5
潦判断一个最简分数能不能化成有限小数,关键是看它的分母是否只含有质因数2和5。
当最简分数的分母中只含有质因数2和5时,这些分数可以化成有限小数;否则不能化成有限小数。
第五单元
图形的运动(三)
仁旋转
(1)含义:旋转就是物体绕一个点向某个方向转动一定的角度。
(2)旋转三要素:
旋转点:物体旋转时所绕的点,也叫旋转中心;
旋转方向:顺时针方向或逆时针方向;
旋转角度:对应线段的夹角或对应顶点与旋转点连线的夹角的度数。
与钟表上指针旋转方向相反的方向称为逆时针方向;
(3)图形旋转的特征
潦旋转中心的位置不变,过旋转中心的所有边旋转的方向相同,旋转的角度也相同;
潦旋转后图形的形状、大小都没有发生变化,只是位置变了。
【注意】
图形旋转的性质:
图形绕某一点旋转一定的度数,图形中的对应点、对应线段都旋转相同的度数,对应点到旋转点的距离相等,对应线段、对应角都分别相等。
在方格纸上画简单图形旋转90。后的图形的方法
先找出原图形的几个关键点所在的位置;根据对应点旋转90°,对应线段长度不变来找出关键点旋转后的对应点;顺次连接所画出的对应点,就得到旋转后的
图形。
平移和旋转在拼图中的应用
(1)七巧板:
七巧板是由七块板组成的:5块等腰直角三角形(2块小三角形、1块中三角形和2块大三角形)1块正方形、1块平行四边形。
(2)利用图形的平移和旋转可以解决图形变化的问题
第六单元分数加法和减法
1•同分母分数加、减法
(1)意义:和整数加减法的意义相同。
加法:把两个数合成一个数的运算。
减法:已知两个数的和与其中一个数,求另一个加数的运算。
(2)同分母分数加减法的计算法则
分母不变,只要把分子相加、减,计算的结果能约分的要约成最简分数。
(3)同分母分数连加连减
连加:按照整数连加的计算顺序从左到右计算,也可以直接把每个加数的分子连加起来作分子,分母不变;
连减:按照整数连减的计算顺序从左到右计算,也可以直接用被减数的分子连续减去减数的分子作分子,分母不变
异分母分数相加减,要先通分,把异分母分数化成同分母分数,再按照同分母分数加、减法的计算方法计算。
【要点提示】
潦分子是1的异分母分数相加减,用分母的积做分母,用分母的和或差做分子,最后的结果要化成最简分数:
L1a+b,亠,、
(a、b均不为0)
abab
L1b—a
(a、b均不为0,且aVb)
abalb
潦如果一个分数由两个相邻的自然数的积作分母,1作分子,形如:—
a(a+l)
(a为不等于0的自然数),那么可以把这个分数拆成乂一丄,
aa+1
十1)a