重点高中数学必修1必修2知识点总结.doc

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高中数学必修1知识点总结
第一章会集与函数看法
一、会集相关看法
1、会集的含义:某些指定的象集在一起就成一个会集,此中每一个象叫元素。
2、会集的中元素的三个特征:
;;
3、会集的表示:{⋯}如{我校的球},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
:A={我校的球},B={1,2,3,4,5}
:列法与描述法。
非整数集(即自然数集)作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q数集R
关于“属于”的看法
会集的元素平时用小写的拉丁字母表示,如:a是会集A的元素,就a属于会集A作
a∈A,相反,a不属于会集A作aA
列法:把会集中的元素一一列出来,而后用一个大括号括上。
描述法:将会集中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示会集的方法。用确立的
条件表示某些象能否属于个会集的方法。
①言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、会集的分:
1).有限集含有有限个元素的会集
2).无穷集含有无穷个元素的会集
3).空集不含任何元素的会集例:{x|x2=-5}二、会集的基本关系
1.“包括”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一会集。反之:会集A不包括于会集B,或会集B不包括会集A,作AB或BA2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,5=5)
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实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论:关于两个会集A与B,假如会集A的任何一个元素都是会集B的元素,同时,会集
B的任何一个元素都是会集A的元素,我们就说会集A等于会集B,即:A=B
任何一个会集是它自己的子集。AA
②真子集:假如AB,且BA那就说会集A是会集B的真子集,记作AB(或BA)③假如AB,BC,那么AC
④假如AB同时BA那么A=B
,记为Φ
规定:空集是任何会集的子集,空集是任何非空会集的真子集。
三、会集的运算
:一般地,由所有属于A且属于B的元素所构成的会集,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于会集A或属于会集B的元素所构成的会集,叫做A,B
的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
1)补集:设S是一个会集,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素构成的会集,叫做S中子集A的补集(或余集)
2)全集:假如会集S含有我们所要研究的各个会集的所有元素,这个会集就可以看作一个全集。平时用U来表示。
四、函数的相关看法
:设A、B是非空的数集,假如依照某个确立的对应关系f,使关于会集A中的
任意一个数x,在会集B中都有独一确立的数f(x)和它对应,那么就称f:A→:y=f(x),x∈,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的会集{f(x)|x∈A}:假如只给出分析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式
子有意义的实数的会集;函数的定义域、值域要写成会集或区间的形式.
定义域增补
能使函数式有意义的实数x的会集称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依精心整理
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据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数一定大于
零;(4)指数、对数式的底一定大于零且不等于1.(5)假如函数是由一些基本函数经过四则运算
,它的定义域是使各部分都有意义的x的值构成的会集.(6)指数为零底不行
以等于零(6)实质问题中的函数的定义域还要保证明质问题有意义.
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三因素:定义域、对应关系和值域
注意:(1)构成函数三个因素是定义域、,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完整一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完整一致,而与表示自变量和函数值
的字母没关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点一定同时具备)(见课本21页相关例2)
值域增补
、函数的值域取决于定义域和对应法规,不论采纳什么方法求函数的值域都应先考虑其定义
.(2).应熟习掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的会集C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.
会集C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),={P(x,y)|y=f(x),x∈A},图象C一般的是一条圆滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线
或失散点构成。
(2)画法
A、描点法:依据函数分析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在座标系内描出相应的点P(x,y),、图象变换法(请参照必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提升解题的速度。发现
解题中的错误。
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(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无量区间;(3)区间的数轴表示.

一般地,设A、B是两个非空的会集,假如按某一个确立的对应法规f,使关于会集A中的任意
一个元素x,在会集B中都有独一确立的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从会集A
到会集B的一个映照。记作“f:A→B”
给定一个会集A到B的映照,假如a∈A,b∈,那么,我们把元素b叫
做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特别的映照,映照是一种特别的对应,①会集A、B及对应法规f是确立的;
②对应法规有“方向性”,即重申从会集A到会集B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不一样的;③关于映照f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)会集A中的每一个元素,在会集B中都有象,而且象是独一的;(Ⅱ)会集A中不一样的元素,在会集B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求会集B中的每一个元素在会集A中都有原象。常用的函数表示法及各自的长处:
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、失散的点等等,注意判断一个图形是不是函数图象的依照;2分析法:一定注明函数的定义域;3图象法:描点法作图要注意:确立函数的定义域;化简函数的分析式;观察函数的特色;4列表法:采纳的自变量要有代表性,应能反响定义域的特色.
分析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值.
增补一:分段函数(拜见课本P24-25)
在定义域的不一样部分上有不一样的分析表达式的函数。在不一样的范围里求函数值时一定把自变量代入相应的表达式。分段函数的分析式不可以写成几个不一样的方程,而就写函数值几种不一样的表
达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值状况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误以为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
增补二:复合函数
假如y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f、g的复合函数。比方:y=2sinxy=2cos(2x+1)

(1).增函数
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设函数y=f(x)的定义域为I,假如关于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a,b,当a<b时,都有f(a)<f(b),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的看法)
假如关于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当a<b时,都有f(a)>f(b),那么就说f(x)=f(x)的单调减区间.
注意:1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2一定是关于区间D内的任意两个自变量a,b;当a<b时,总有f(a)<f(b)。
(2)图象的特色
假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上拥有(严格的)单
调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是降落的.
(3).函数单调区间与单调性的判断方法
定义法:任取a,b∈D,且a<b;2作差f(a)-f(b);3变形(平时是因式分解和配方);4定号(即判断差f(a)-f(b)的正负);5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
图象法(从图象上看起落)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性亲近相关
注意:1、函数的单调区间只好是其定义域的子区间,不可以把单调性相同的区间和在一起写成其并
、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判断单调性吗?

(1)偶函数
一般地,关于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,关于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数
可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、由函数的奇偶性定义可知,函数拥有奇偶性的一个必需条件是,关于定义域内的任意一个x,
则-x也必定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
3、拥有奇偶性的函数的图象的特色
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1第一确立函数的定义域,并判断其定义域能否关
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于原点对称;2确立f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则
f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
注意:
原点对称,,(1)再依据定义判断;(2)有时判断f(-x)=±f(x)
比较困难,可考虑依据能否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判断;(3)利用定理,或借助函数的
图象判断.
9、函数的分析表达式
(1).函数的分析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们
之间的对应法规,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的分析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,假如已知函数分析式的
构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
(小)值(定义见课本p36页)
(1)、利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值.(2)、利用图象求函数的最大(小)
值(3)、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:假如函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递加,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);假如函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递加则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
:一般地,假如xna,那么x叫做a的n次方根(nthroot),此中n>1,且n
N*.
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,,a的n次方
(radical),这里n叫做根指数(radicalexponent),a叫
做被开方数(

radicand).
当n是偶数时,正数的

n次方根有两个,,正数

a的正的

n次方
根用符号na表示,负的n次方根用符号-
成±na(a>0).由此可得:负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是
0,记作n00。
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注意:当n是奇数时,nan
a,当n是偶数时,nan
|a|
a
(a
0)
a
(a
0)

正数的分数指数幂的意义,规定:
m
annam(a0,m,nN*,n1),a

m
1
1(
n
a
0,,
N
*
,
n
1)
m
nam
mn
an
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的看法就从整数指数推行到了有理数指数,那么整
数指数幂的运算性质也相同可以推行到有理数指数幂.

(1)ar
·ar
ars
0,r,s
R)
;()(ar
)s
ars
(a0,r,sR)
;
(a
2
(3)(ab)r
aras
(a
0,r,s
R).
(二)指数函数及其性质
x
且
叫做指数函数(exponentialfunction),
、指数函数的看法:一般地,函数
ya(a
0,
a
1)
1
此中x是自变量,函数的定义域为
R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不可以是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>10<a<1
图象特色
x、y轴正负方向无穷延伸图象关于原点和y轴不对称函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点(0,1)

函数性质
函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R+
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自左向右看,
自左向右看,
图象逐渐上
图象逐渐下
增函数
减函数
升
降
在第一象限
在第一象限
内的图象纵
内的图象纵
坐标都大于
坐标都小于
1
1
在第二象限
在第二象限
内的图象纵
内的图象纵
坐标都小于
坐标都大于
1
1
函数值开始
函数值开始
图象上升趋
图象上升趋
增加较慢,到
减小极快,到
势是愈来愈
势是愈来愈
了某一值后
了某一值后
陡
缓
增加速度极
减小速度较
快;
慢;
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,f(x)
ax(a0且a
1)值域是[f(a),f
(b)]或[f(b),f(a)];
(2)若x0,则f(x)
1;f(x)取遍所有正数当且仅当
x
R;
(3)关于指数函数f(x)
ax(a
0且a
1),总有f(1)
a;
(4)当a1时,若x1
x2,则f(x1)
f(x2);
二、对数函数
(一)对数
:一般地,假如ax
N(a0,a1),那么数
x叫做以a为底N的对数,记作:
...
logaN(a—底数,N—真数,logaN—对数式)
说明:注意底数的限制a0,且a1;
axNlogaNx;
注意对数的书写格式.
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两个重要对数:常用对数:以10为底的对数lgN;
自然对数:以无理数e

为底的对数的对数lnN.
对数式与指数式的互化
对数式
指数式
对数底数←
a→幂底数
对数
←
x
→指数
真数
←N
→幂
(二)对数的运算性质
假如a
0
,且a1,M
0,N
0,那么:(1)
loga(
M·N)
logaM+logaN
;()
2
logaM
logaM-loga
N;(3)logaMn
nlogaM(n
R).
N
注意:换底公式logab
logcb(a
0,且a1;c0,且c
1;b
0).
logca
利用换底公式推导下边的结论(1)logambn
nlogab;(2)logab
1
.
m
logba
(二)对数函数
1、对数函数的看法:函数ylogax(a0,且a1)叫做对数函数,此中x是自变量,函
数的定义域是(0,+∞).
注意:对数函数的定义与指数函数近似,都是形式定义,注意鉴识。
如:y2log2x,ylog5x都不是对数函数,而只好称其为对数型函数.
5
对数函数对底数的限制:(a0,且a1).
2、对数函数的性质:
a>10<a<1
图象特色函数性质
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