文档介绍：该【离散鞅论及应用 】是由【才艺人生】上传分享，文档一共【6】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【离散鞅论及应用 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。离散鞅论及应用
离散鞅论及应用
基础定义
设为概率空间,整数集合,表示的一个“区间”,指的不间断子集,比如:,等。
定义1:设为单调上升(或下降),指,(或)。设为随机变量序列,若关于可测,,称为适可测随机变量。
定义2:设为适可测随机变量,若下两条满足:
1.,2.。则称为一个鞅。
若2改写成,称为下鞅(上鞅),合称为半鞅。
定义3设为适可测随机变量,下降,若,且,则称为一个反鞅。
,为适可测随机变量列,则为一个鞅,当且仅当为一个反鞅。
定义4设为适可测随机变量列,,,若,称为一个鞅差。
命题2设为上升域(列),下两条成立:
若为一个鞅,则为一个鞅差,其中
若为一个鞅差,则为一个鞅,其中。
简言之,“鞅=鞅差的部分和”。
设为一个鞅,为内实值可测函数,问是否是鞅?首先,关于可测,理由:关于可测,假定,,其次,和的关系?
以得到的结论呢?
考虑停时注意到,从而。可以看出,是一个有界停时(),由上面命题可知。我们希望当时,后面两项趋于0,对于第二项来说,这是不困难的,因为,当,,相当于对限制在一个趋于空集的集合上取期望。容易看出,若要求,就可以保证。第三项就更麻烦一些,当时,第三项并不趋于0。然而如果和满足条件。我们就可以得出结论。
定理1鞅停时定理
设是一关于的鞅,是停时满足:
(1);(2);(3)。
则有。
定理2设是关于的上鞅,是关于的停时,,设存在一非负随机变量,满足,且使得
,则有。特别地,若,则有。
推论1设是关于的上鞅,是关于的停时,且,则有。
我们已经知道对于上鞅,有,此处上鞅停止定理说明档把换为停时时,在附加某些条件前提下,结论也成立。
一个应用——关于期权值的界
设某种股票的每股上市价,以表示第天的开盘价,令,
,则有。
考虑一种期权,它保证期权持有人可以在一限定的期限内,以预定的价格购入股票。不妨设这一预定的行使期权的价位为1,并假设我们考虑的期权行使期限为无限。若,则期权持有人有可能在第天行使期权,以价位1购入股票,立即以价位抛出,从而获利;若则无法获利。由此,期权持有人在第天的潜在利润为
,
设贴现率为,将贴现到第1天为,可任取一停时作为行使期权的时刻,我们要寻找的期望的值的上界,即这一期权最高多次潜在利润为多少。为此要对作出一个假设,假定存在使得
(1)
称为初始每股价格为的期权值。(1)式中的上确界是对一切关于的停时取的。因为满足(1)式,所以该期权值与(1)式中的参数有关。
定理3设为以上定义并满足(1)式,,则期权值满足下述不等式。其中
(2)
证明:证明分为四部分,略。
注1:对任意固定,定义,则有
(3)
则有,
若初始每股价格超过,则期权的平均潜在利润至多为。这一值可通过即刻行使期权获得(取)。这表示,一旦单股股票的价格超过,期权持有人就应马上行使他的期权,以期获得最大限度的潜在利润。
注2:这个定理是以(1)式作前提的,如果对这个假设存在怀疑,这定理就不适用,但一般来说这一假设是合理的,至于的选取,可以根据以往的经验或者同级方法获得。