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几何画板迭代全解
目录
迭代的基本概念以及迭代的基本操作
♦迭代的概念
♦迭代在代数、几何中的应用
♦画正多边形
数列的图像、前n项和与积
迭代与分形几何
Sierpinski三角形
♦Sierpinski地毯
摇曳的PythagoreanTree毕达哥拉斯树
分形树
♦KOCH曲线
♦KOCHSnowflake柯克雪花
数学之美
H迭代
蜂巢
♦其它分形欣赏
函数迭代:函数映射,M集,朱丽亚集
迭代法求方程解
MIRA
Henon-Attractor
Mandelbrot集合
JuliaSets集合
牛顿迭代法
下期预告
2
第一章:迭代的概念和操作
迭代是几何画板中一个很有趣的功能,它相当于程序设计的递归算法。通
俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下
的定义:
n!=nx(n一1)!
(n一1)!二(n一1)x(n一2)!
。递归算法的特点是书写简单,容易理解,但
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是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。
迭代:按一定的迭代规则,从原象到初象的反复映射过程。
原象:产生迭代序列的初始对象,通常称为“种子”。
初象:原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。
更具体一点,在代数学中,如计算数列1,3,5,7,9……的第n项。我们
知道a二a+2,所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像,
nn-1
3作为初像,迭代一次后得到5,再迭代一次得到7,如此下去得到以下数值序
列7,9,11,13,15......。
n
■严
L'-厂
0

1
5HQ

2
inn
5DD
3

A
11jn

£
i-
a1=1100ai*2=3M
BCDEFG

在几何学中,迭代使一组对象产生一组新的对象。、B、C、D、
E、F、G,各点相距1cm,那么怎么由A点和B点得到其它各点呢?我们可以发现其中的规律就是从左到右,每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我们以A点作为原像,B点作为初像,迭代一次得到B点,二次为C点,以此类推。
所以,迭代像就是迭代操作产生的象的序列,而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。
几何画板中迭代的控制方式分为两种,一种是没有参数的迭代,另一种是
带参数的迭代,我们称为深度迭代。两者没有本质的不同,但前者需要手动改变
迭代的深度,后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n
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边形这个例子来看一下它们的区别。
【例1】画圆的内接正7边形。
5
【分析】由正7边形的特征,我们知道,每一个点都相当于前面的点逆时针旋转型,抓住这个规律,我们可以用迭代功能来解决。
7
【步骤】
新建圆0,在圆0上任取一点A。
双击圆心0作为旋转中心。选中A点,单击菜单【变换】【缩放】,旋转参数选为选择固定角度,然后在框中输入360/7,得到B点。连接线段AB。
6
选择A点,单击【变换】【迭代】,点击B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像是正7边形的4条边(因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次)。
单击迭代框的【显示】按钮,选择【增加迭代】。(或者按键盘的‘+'或
‘一')。增加三次迭代后,我们可以看到一个完整的正7边形。此时的迭代次数为6次,正7边形制作完成。
眈世代电:i
第5步
单击迭代框的【显示】按钮【最终迭代】得到的图像仅是最后一条边。
点击迭代框【结构】按钮,我们可以设置创建的对象,选择“仅没有点的对象”则迭代的像只有正多边形的各条边,而没有顶点,反之则有。
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r
A=>IB
BfKKJPa.
•址I
iir^i
选择迭代像,我们可以修改他们的属性,比如颜色和粗细等,但是细心的你会发现,线段的迭代像是不能够度量其长度的,当然也就不能取中点之类的操作。迭代的点是不能够度量他们的横纵坐标,但是我们可以得到迭代的终点,方法是选择迭代的点,然后单击【变换】【终点】,可以发现最后的那个点变成实点了,这个功能在函数映射里面会用到。
上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦,而且迭代规则限定了,即每次都是旋转同样的角度。迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢?可以的,这就是深度迭代。
【例2】画圆的任意n边形
【步骤】
新建圆0并在圆上任取一点A。双击圆心0作为旋转中心。
新建参数n=7,计算36^,注意这时要带单位‘度'。
n
选择A点,单击菜单【变换】【旋转】,出现旋转对话框,单击计算结
果‘型'作为标记角度,得到B点。连接线段AB。
n
n=7M
360°
——=5L4?&
n=
360*
--="n
顺次选择点A和参数n,按住“shift”键不放,单击【变换】【深度迭代I】
出现迭代对话框。单击B点作为初像,屏幕上显示出完整的正7边形。
按【迭代】完成操作。
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如何改变参数n呢?有两种方法,第一种是双击参数n然后在对话框中输入值。第二种是单击参数n,按键盘的‘+'、‘一',系统默认变化量为1。右键单击可以修改变化量的大小。
|n=
="
n
注意:迭代时,作为迭代深度的参数n一定要在最后面选择,这是系统的规定。
上面讲的都是迭代在几何方面的应用,下面我们来看看用迭代在画数列图像和数列求和方面的应用。
【例3】求数列a=1+-(n=1,2......)的图前8项,并在平面上画出散点n2
(n,a)。
n
【分析】由数列的表达式可知,(n,a)是直线y=1+。我们
n
要产生两个数列,一个是作为横坐标的数列1,2,3......,一个是作为纵坐标的满足上述通项公式的数列。
【步骤】
新建函数y=1+。
新建参数a=1,计算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。
(计算a+1-1是为了得到f(a)对应的横坐标a。因为迭代次数为0的时候,f(a)=,a的值在迭代数据表中是不会显示出来的。)
新建参数n=7作为迭代深度。
选择a和n,做深度迭代,原像是a,初像是a+1。
n
3逊
AW
□

1DD
1
BjOO
2□□
2SO
2DD
2
^.00
260
3AD
3

4DD
4

4CM
5AD
6
7JQ0

a
4S]
5□□
7£ID
7

5(M

SAD
S
■

a=(a)=+1==
(a+1)-1=
f(x)=+1
ii=
9
右键点击数据表,选择‘绘制表中记录',设置x列变量为(a+l)-l,y列
为f(a)o坐标系为直角坐标系。
第5步第6步
点击绘图,得到散点。这些点是可以度量的。但是当参数n改变的时候,
这些点不与数据表同步,所以是不会改变的。
【例4】求数列1,3,5,7,9(n=1,2......)的前n项和。
【分析】公差为d,假设前n项和为S,S=S+a=S+a+(n-1)*d,
nnn-1nn-11
在平面上描出(n,S)。
n
【步骤】
新建参数x=1,计算x+1。
新建参数a=1,d=2。分别表示数列首项和公差。
新建参数s=1,计算s+a+x*d
选择x,x+1,s,s+a+x*d,和n做深度迭代。绘制数据表,x列为x+1,y列为s+a+x*d。
10
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11
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与此同理那么等比数列的制作也是一样的。下面我们来看看通项公式不知道的数列怎么画出其图像。
【例4】画出菲波拉契数列a=1,a=1,a=a+a。
12nn-1n-2
【分析】数列的前提条件是a=1,a=1,因为a=a+a;所以原像是
12nn-1n-2
a,a,初像是a,a。
1223
【步骤】
新建参数fl=0,f2=l,计算fl+f2,把计算结果的标签改为f3。
新建参数a=1,计算a+1,。计算(a+1)+1(因为迭代0次的时候f3=2,而,所以下标应该是3,而a=1,故计算a+1+1)
新建参数n=8
依次选择fl,f2,al,al+l,n,做深度迭代。
绘制表中数据,x列为a+3,y列为f。
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画点(0,1),(1,1)两点,作为数列的前两项。从图像可以看出,数列前面增长的很缓慢,但是到了后面就非常的惊人了。
【小结】
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在开始下一章“迭代与分行”之前,先复****一下深度迭代的过程是:
顺次选择原像和参数n。(注意顺序)
按住shift不放,单击菜单【变换】【深度迭代】(出现对话框后可以松开shift键)。
依次选取初像。(注意顺序)。
添加映射的方法是按键盘‘Ctrl+A'。
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第二章:迭代与分形几何
分形的特点是,整体与部分之间存在某种自相似性,整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力,特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识,但相对而言,分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边,我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形,参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等,也都是分形。人们对这些东西太熟悉了,当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活,因而由分形而来的分形艺术也并不遥远,普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个,而且均为多映射迭代,为了叙述的方便,我们先作以下两个约定。
用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。
(A,B,C)n(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D,B映射到D,C映射到F然后添加映射A映射到G,B映射到H,C映射到I,如此类推。
【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间,为实变函数理论构造了几个典型的例子,这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今,几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣,而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形,它是很有代表性的线性分形,具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点,挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零,总长度趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值,Sierpinski三角形结构节省材料,强度高,例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】
在平面上任意画一个三角形ABC,取三边中点为D、E、F,连接DEF。
新建参数n=3
顺次选择B,C,A三点和参数n,作深度迭代,(B,C,A)n(D,F,A)。
添加新的映射,(B,C,A)n(B,E,D)。
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