文档介绍：第四章线性系统的根轨迹分析
张学广
电力电子与电力传动研究所
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引言
系统的稳定性和动态性能与闭环极点在s平面位置有密切关系。
1. 垂直线区域
衰减度,表示一种相对稳定性。
2. 扇形区域
闭环系统将具有一定的阻尼比。
§ 根轨迹的基本概念
§ 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
§ 控制系统根轨迹的绘制
(1)单回路系统的根轨迹
(2)参数根轨迹
(3)多回路系统的根轨迹
(4)正反馈回路的根轨迹
本章主要内容
§ 利用根轨迹分析系统性能
(1)暂态响应性能分析
(2)增加开环零极点对根轨迹的影响
(3)对稳态性能的影响
§ 根轨迹的基本概念
分析系统性能时,需知道闭环系统极点的确切位置;
分析和设计过程中,可能还需要研究一个或几个参量在一定范围内变化时对系统性能的影响。
依万斯()提出了求解系统特征方程式根的图解方法-根轨迹法。
通过开环零极点绘制控制系统闭环极点随参数变化的运动轨迹。
以二阶系统为例
开环传递函数为:
有两个开环极点,0 和-a.
系统闭环传递函数为:
特征方程为:
根为:
在K1和a为正值时,上述二阶系统总是稳定的。
暂态性能却随特征方程的根而变化,即随a和K1的值而变化。
讨论a保持常数,特征方程的根随增益K1改变的情况:
当
时,s1和s2为互不相等的两个实根。
(2)
,则两根相等,即。
(3)
,两根成为共轭的复数根,其实数部分为,
这时根轨迹与实轴垂直,并相交于
点。
K1从零变化到无穷大时的根轨迹
二阶系统的根轨迹有两条,K1=0时分别从p1=0和p2=-α出发;
(2) 两个根都在负实轴上,系统处于过阻尼状态;
(3) 当K1增加到α2/4时,两个特征根相等会合于;
(2)当K1>a2/4 时,对应欠阻尼状态,K1越大,振荡的频率也越高,由于两个根的负实部不变,系统的调节时间变化不大。
根轨迹:当系统的某一个或几个参数变化时,闭环传函特征方程的根(闭环极点)在s平面上运动的轨迹。
常规根轨迹:以系统开环增益为可变参量绘制的根轨迹。
§ 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
闭环系统特征方程为:
1+G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)= -1
可以得到幅值条件和相角条件:
一、绘制根轨迹的基本条件
在s平面上,凡能满足相角条件的点所构成的轨迹即为根轨迹。绘制根轨迹主要依据相角条件,而幅值条件用于确定根轨迹上某点对应的系统参数值。
设开环传函为:
—开环零点
—开环极点
K1为开环传函写为零极点形式时的增益
K为开环传函写为时间常数时的增益
用零极点形式绘制根轨迹比较方便,将其代入幅值条件和相角条件中,可得:
或
用相角条件绘制根轨迹;
用幅值条件确定根轨迹上某一点对应的增益值。