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高三年级数学试卷(理科)
说明:
120分钟,满分 150分。Ⅰ答案用 2B铅笔涂在答题
卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。3.Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号,答题卡占后5位。
卷Ⅰ(选择题
共60
分)
(共
12小题,每小题5分,计60分。在每小题给出的四个选项中,只有一
个选项正确)
1.
若集合M
{y|y
2x},N
{y|y
x1},则M
N=(
)
A.{x|x>1}
B.
{y|y1}
C.{x|x>0}
D.{y|y0}
2.
复数z=i
,则z在复平面上对应的点位于(
)
1+i
B
.第二象限
C
.第三象限
,若输入
x=3,则输出y的值为(
)
开始
4.
袋中有6个小球,分别标有数字
1,2,3,4,5,6,
甲乙两人玩游戏,先由甲从袋中任意摸出一个小球,
输入x
记下号码a后放回袋中,再由乙摸出一个小球,
y=2x-1
记下号码b,若|a
b|1就称甲乙两人“有默契”,
x=y
|x-y|>8
否
则甲乙两人“有默契”的概率为(
)
是
输出y
9
9
18
9
结束
5.
如图,一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长
2
的正三角形和正方
形,则其体积是(
)
3
B.
4
2
C.
4
3
D.
8
A.
3
3
3
6
(x)
3sinx
x,命题
p
:
x
(0,),
f
()0
,则()
2
x
;
p:
x
(0,
2
),f(x)
0
(第5题)
;
p:
x0
(0,
),f(x0)
0
2
;
p:
x
(0,
),f(x)
0
2
;
p:
x0
(0,
2
),f(x0)
0
ABC
中,
BAC
60O,
AB
2,
AC
3
BCCACAAB(
)
,则ABBC
B.-10
C.-4
等轴双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,C与抛物线x2=16y的准线交于A,B两
点,|AB|=4
2,则C的虚轴为(
)
B.
4
2
1的等比数列{an}的首项为
1,若3a1,2a2,a3成等差数列,则数列{1}
an
的前5项和为(
)
121
B.
31
A.
16
81
、B、C、D均在同一球面上,其中
ABC是正三角形,AD
平面ABC,
AD2AB6,则该球的体积为(
)
.32
3
B
.
48
C
.64
3
D
.163
A
11. 求形如y=f(x)g(x)的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:
lny=g(x)ln
f(x),再两边同时求导得
1y'
g'(x)ln
f(x)g(x)
1
f'(x),于是得
y
f(x)
到:y'=
f(x)[g'(x)lnf(x)+g(x)
1
f'
1
(x)],运用此方法求得函数
y=xx的一个单
f(x)
调递增区间是(
)
A.(e,4)
B
.(3,6)
C
.(0,e)
D
.(2,3)
2
2
(-c,0)是双曲线x2-
y2=1(a>0,b>0)的左焦点,P是抛物线y2
=4cx上一点,
a
b
直线FP与圆x2+y2
=a2相切于点E,且|PE|
|FE|,若双曲线的焦距为
25+2,则
双曲线的实轴长为(
)
45
D.
10
25
5
5
卷Ⅱ(非选择题
共90分)
(共
4小题,每小题5分,计
20分)
13.(x
-y
)6的展开式中x3的系数等于
y
x
4组,其中有
2个组各2人,另两个组各1人,分赴2012年伦敦
奥运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有
种.(用数字作答)
2x
y
2
0
,y满足约束条件
8x
y
4
0
,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最
x0,y
0
大值为8,则a+b的最小值为
已知an
n
1)dx,数列{1}的前
n项和为Sn,数列{bn}的通项公式为
16.
(2x
0
an
bn
n33,n
N*,则bnSn的最小值为
三.
解答题(本大题共
6小题,共70分;解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分
12分)
已知a(cosx,2
3cosx),b
(2cosx,sinx),且f
(
xa
b
)
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
(2)在△ABC中,a,b,c,分别是A,B,C的对边,若(a
2c)cosBbcosA成立,
求f(A)的取值范围.
18.(本小题满分
12分)
在四棱锥P-ABCD中,PA
底面ABCD,ABCD,AB
BC,
1
P
PA=AB=BC=
CD=a.
2
求证:面PAD⊥面PAC;
(2)求二面角D-PB-C的余弦值.
A
B
D
C
(本小题满分12分)
某校高二年级共有学生1000名,
其中走读生 750名,住宿生250名,现从该年级采用
分层抽样的方法从该年级抽取 n名学生进行问卷调 频率/组距
1/100
(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组
①[0,30), ②[30,60), ③[60,90), ④[90,120),
1/200
⑤[120,150), ⑥[150,180), ⑦[180,210), ⑧[210,240),
1/300
得到频率分布直方图如下
.已知抽取的学生中每天晚上
1/600
有效学****时间少于60分钟的人数为
5人;
1/750
时间(分钟)
1/3000
0
30
60
90
120
150
180
210
240
1)求n的值并补全下列频率分布直方图;
2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的
n名学生,完成下列 2×2列联表:
利用时间充分
利用时间不充分
总计
走读生
50
25
75
住宿生
10
15
25
总计
60
40
100
是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?
参考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考列表:
P(K2
k0)
k0
(3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出 3人调查影响有效利用时间的原因,
记抽到“有效学****时间少于 60分钟”的学生人数为 X,求X的分布列及期望;
20.(本小题满分12分)已知椭圆
x2
y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,
C1:
2
+
2
a
b
其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且
5
|MF2|=.(1)求C1的方程;
3
(2)平面上的点
N满足MN=MF+MF
,直线l
MN,且与C1交于A,B两点,
1
2
若OAOB
0,求直线l的方程.
21.(本小题满分12分)已知函数
f(x)
plnx
(p
1)x2
1.
(1)讨论函数
f(x)的单调性;
(2)当p1
时,f(x)
kx恒成立,求实数
k的取值范围;
(3)证明:ln(n1)1
1
1
1
(n
N*).
2
3
n
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分
.作答
时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分
10分)选修
4-1:几何证明选讲
如图,A,B,C,D四点在同一个圆上,BC与AD的延长线交于点
E,点F在BA的延长
线上。
F
(1)若EC=
1
,ED=
1
,求DC的值;
A
EB
3
EA
2
AB
(2)若EF2
FAFB,证明:EFCD.
D
B
23.(本小题满分
10分)选修
E
C
4—4:坐标系与参数方程。
曲线C1的参数方程为
x
acos
b
0,为参数),以O
在平面直角坐标系中,
y
(a
bsin
为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,
已知曲线C1
上的点M(2,
3)对应的参数=
射线
=
与曲线C2交于点
3
4
D(2,).
4
(1)求曲线C1,C2的方程;
(2)A(1,),B(2,
)是曲线C1上的两点,求
1
1
2
2的值.
2
1
2
(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 f(x) |x 2| |x 1|
1)若f(x)a恒成立,求a的取值范围;
2)解不等式f(x)x22x.
河北省五校盟2012—2013学年度第一学期研考高三年数学答案(理科)
1-5CDDDC 6-10DBBAA 11-12CA
16.
解:(1)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..4 分
增区:
解得:
故增区: ⋯⋯..6 分
(2)由正弦定理得:
B
三角形的内角
B=
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.8
分
+1
又 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分故
2,3]⋯⋯..12
分
18. (1)明: PA=AB=BC=12CD=a,接AC,在RT△ABC中,AC=2a,在直角梯形
中易求得 AD=2a,所以在△DAC中有:AD2+AC2=CD2,∴AC⊥AD
又∵PA⊥底面ABCD ∴PA⊥AC ∴AC⊥平面PAD
∵ 平面PAC∴面PAD⊥面PAC ⋯⋯⋯⋯⋯6 分
ABCD
(2)以B原点,BA,BC所在直分 x,y建立如所示坐系,:
A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),D(2a,a,0),P(a,0,a)
平面PBC的法向量n1→=(x′,y′,z′),平面PBD的法向量n2→=(x,y,z),BP→=(a,0,a),BC→=(0,a,0),BD→=(2a,a,0)
由n1→⊥BP→,n1→⊥BC→,n2→⊥BP→,n2→⊥BD→得:ax′+az′=0,y′
=0,ax+az=0,2ax+ay=0
∴z′=-x′,y′=0,y=-2x,z=-x ∴n1→=(1,0,-1),n2 →=(1,-2,-1)
∴cos<n1→,n2→>=1×1+0×(-2)+(-1) ×(-1)2×6=33
二面角 D-PB-C的平面角θ,由形易知 θ角
∴cosθ=|cos<n1→,n2→>|=33⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分
(以B原点,AD,AC所在直 x y建立平面直角坐系参照分)
19. 解:(1)第i的率 Pi(i=1,2, ⋯,8),
由可知: P1=13000×30=1100,P2=1750×30=4100
∴学少于 60的率: P1+P2=5100 由n×5100=5∴n=100⋯(2分)
又P3=1300×30=10100, P5=1100×30=30100,P6=1200×30=15100,P7=1300×30=10100,
P8=1600×30=5100,
P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1-1+4+10+30+15+10+5100=1-75100=25100
第④的高度 h=25100×130=253000=1120
率分布直方如:(未明高度 1/120扣1分)⋯⋯4分
2)
K2=100×(50×15-25×10)275×25×40×60≈
由于K2>,所以有95%的把握
学生利用是否充分与走、住宿
有关⋯⋯⋯8分
(3)由(1)知:第①
1人,
第②4人,第⑦15
人,第⑧10人,20人。X的所有可能取
0,1,2,
3
P(X=i)=Ci5C3-i15C320(i=0
,1,2,3)
P(X=0)=C05C315C320=4551140=91228,P(X=1)=C15C215C320=5251140=105228=3576,P(X=2)=C25C115C320=1501140=30228=538,P(X=3)=C35C015C320
=101140=2228=1114
∴X的分布列:
P 0 1 2 3
91228
3576
538
1114
EX=0×91228+1×105228+2×30228+3×2228=1×105+2×30+3×2228=171228=34(或由X服从20,5,3的超几何分布,∴EX=3×520=34)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
解:(I)由知,,解得,
在上,且 的半焦距 ,于是 ,
消去 并整理得 , 解得 (不合意,舍去)。
故 的方程 . --------6 分
(II)由 知四形 是平行四形,其中心坐原点 ,
因,所以 与的斜率相同,故 的斜率 。
。由
,所以
因 ,所以 ,
解得
,
故所求直
的方程或.-------------
14
分
:(1)的定域(0,+∞),
分
当,>0,故在(0,+∞)增;
当,<0,故在(0,+∞)减;⋯⋯4分当0<<1,令=0,解得.
当,>0;,<0.
故在增,在减⋯⋯5分
(2)因,所以
当,恒成立
令,,
⋯⋯⋯⋯⋯6分
因,由得,
且当,;当,.
所以在上增,,
故
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
(3)由(2)知当
,有
,当,即,
令,,即
⋯10分
所以,,⋯,,
相加得
而
所以,.⋯⋯⋯⋯⋯12分
22.(本小分
10分)修4-1:几何明
(1)解:∵A,B,C,D四点共
∴∠EDC=∠EBF
又∵∠DEC=∠AEC
∴△ECD∽△EAB
∴ECEA=EDEB=CDBA又∵ECEB=13,EDEA=12∴CDBA=66⋯⋯⋯5分
(2)∵EF2=FA?FB
∴EFFA=FBEF
又∵∠EFA=∠BFE
∴△FAE∽△FEB
∴∠FEA=∠EBF
又∵A,B,C,D四点共
∴∠EDC=∠EBF
∴∠FEA=∠EDC
∴EF∥CD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
23.(本小分10分)修4—4:坐系与参数方程。
解:(1)将M(2,3)及的参数
代入x=acosjy=bsinj
得:2=acosπ33=bsinπ3
得:a=4b=2
∴曲C1的方程:x=4cosjy=2sinj
(参数)或x216+y24=1
C2的半径R,C2的方程:ρ=2Rcosθ(或(x-R)2+y2=R2),将点D(2,p4)
代入得:2=2R?22 ∴R=1
∴C2的方程:ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分
(2)曲将A(
C1的极坐方程:
ρ2cos2θ16+ρ2sin2θ4=1
代入得: ρ12cos2θ16+ρ12sin2
θ4=1,ρ
22sin2
θ16+ρ22cos2θ4=1
∴ θ16+sin2θ4)+(sin2
24.(本小分 l0分)修4—5:不等式
解:(1),------------------3 分
又当 , ,
θ16+cos2θ4)=516
⋯⋯⋯⋯⋯10
分
∴
--------------------------------------------5
分
∴若使f(x) ≤a恒成立,有 a≥fmax(x), 即a≥3
∴a的取范是: [3,+∞)
(2)当 , ;
当, ;
当, ;-------------------------8 分
合上述,不等式的解集: .-------------------------10
分