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第五章向量空间





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一、向量空间概念的引入
二、向量空间的定义
三、向量空间的例子
四、向量空间的基本性质
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一、向量空间概念的引入
例1设C是复数集合,R是实数域,对C中任意两个数a和
b,有a+bC,对任意的kR,ka
法和乘法运算,满足下面的运算律:
1)a+b=b+a;
2)(a+b)+c=a+(b+c);
3)0+a=a;
4)对任意aC,存在bC,使a+b=0;
5)k(a+b)=ka+kb;
6)(k+l)a=ka+la;
7)(kl)a=k(la);
8)1a=a.
这里a,b,c是任意复数,k,l是任意实数。
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例2在平面上建立直角坐标系后,把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2.
对V2中任意向量X和Y,用平行四边形法则,有X+Y
任意实数k以及V2中任一向量X,有kX,Y,
ZV2,a,bR,有
1)X+Y=Y+X;
2)(X+Y)+Z=X+(Y+Z);
3)0+X=X,其中0是V2中的零向量;
4)对任意XV2,存在Y,使X+Y=0,其中Y是X的负向量;
5)a(X+Y)=aX+aY;
6)(a+b)X=aX+bX;
7)(ab)X=a(bX);
8)1X=X.
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例3设Fn[x](x),g(x)Fn[x],f(x)+g(x)Fn[x].又对F中的任意数k,kf(x)Fn[x].并且,对Fn[x]中任意多项式f(x),g(x),h(x)及F中任意数a,b,有
1)f(x)+g(x)=g(x)+f(x);
2)[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)];
3)0+f(x)=f(x),0是Fn[x]中的零多项式;
4)对任意f(x)Fn[x],存在g(x),使f(x)+g(x)=0;
5)a·(f(x)+g(x))=a·f(x)+a·g(x);
6)(a+b)·f(x)=a·f(x)+b·f(x);
7)(ab)·f(x)=a·(b·f(x));
8)1·f(x)=f(x).
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例4设Mmn(F)是数域F上全体mn矩阵的集合,对任意的
A,BMmn(F),A+BMmn(F),对任意的kF,kAMmn(F).
并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a,b,有
1)A+B=B+A;
2)(A+B)+C=A+(B+C);
3)0+A=A;
4)对任意的AMmn(F),存在B,使得A+B=0;
5)a(A+B)=aA+aB;
6)(a+b)A=aA+bA;
7)(ab)A=a(bA);
8)1A=A.
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上面例子中涉及的数学对象不同,但它们有共同点,即都有一个非空集合,一个数域,有两种运算,并且这两种运算满足8条运算律。
例1:C,R
a+b,ka
例2:V2,R
X+Y,kX
例3:Fn[x],F
f(x)+g(x),kf(x)
例4:Mmn(F),F
A+B,kA
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1)+=+;
2)(+)+=+(+)
3)0+=
4)对任意,存在,使得
+=0,称为的负元素;
5)a(+)=a+a;
6)(a+b)=a+b;
7)a(b)=(ab);
8)1=.
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二、向量空间的定义
定义1设V是一个非空集合,
把V中的元素用小写希腊字母,,,…来表示,
把F中的元素用a,b,c,…
被满足,就称V是F上的一个向量空间:
1和
,在V中有一个唯一确定的元素与之对应,称为
与的和,记为.
2
F中的任意数a和V中的任意元素,在V中有一个唯
一确定的元素与之对应,称为a和的数量积,记为
a.
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3上述加法和数量乘法满足下列运算规律:
1)=;
2)()=();
3)在V中存在一个元素0,使得对于任意V,都有
0=,(具有这个性质的元素0称为V的零元素);
4)对于V中的每一个元素,存在V中的元素,使得
=0,(具有这个性质的元素叫做的负元素);
5)a()=aa;
6)(a+b)=ab;
7)(ab)=a(b);
8)1=.
这里,,是V中的任意元素,a,b是F中的任意数.
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