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关于小学数学建模教学的程序思考
张奠宙教授认为,“广义地讲,数学中各种基本概念和基本算法,都可以叫做数学模型。加减乘除都有各自的现实原型,它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。但是,按通行的比较狭义的解释,只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫做数学模型。例如,平均分派物品的数学模型是分数;元角分的计算模型是小数的运算;以这样的认识来看待小学数学教学,很显然,小学生学数学似乎都不必要学得这样抽象、这样概括,甚至可以说,小学数学教学中难以有真正的“狭义意义”上的数学建模。然而,换一个角度来看,我们又应该清醒地知道“建模”、“模型”对于数学、对于数学学****的重要价值。
数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学****只有深入到“模型”、“建模”的意义上,才是一种真正的数学学****这种“深入”,就小学数学教学而言,更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学,“从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程,进而使学生获得对数学的理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进入和发展。”
用数学建模的思想来指导着数学教学,不同的年级、内容、学****对象应该体现出一定的差异,但也存在着很大的关联性。就教学实施的一般程序来看,可以归结到三个字:“磨”、“模”、“魔”。
一、“磨”。
能将解决它的方法和思路进行扩展运用(学****鸡兔同笼”,最终的目标并不仅仅是会解答一道“鸡兔同笼”,更有其他)。有了这样的理解,在教学中,我们就会引导学生在关注教材中所编排内容的同时,注意把握题目的类型、结构和类比运用,用系统的眼光来看待它的教学价值。这些,恰恰是学生到了中学后真正建立二元一次整数方程数学模型的基础。
再比如,“确定位置”的数学模型是立体坐标系。学生在一年级接触到的一列队伍中“老爷爷排在第3个”,其实就是一维空间上的确定位置;在二年级接触到的“小明坐在第3排第4个”,其实就是二维空间上的确定位置;五年级学****的“数对”则是初步抽象的二维坐标模型。如果在教学中能将这一层意义渗透进去,一定能为学生将来学****立体坐标系提供很好的支持。(法向量在高中立体几何中的重要作用)
眼界决定境界。一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识,往往会决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。
二、“模”。
所谓“模”,即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。对小学数学而言,“建模”的过程,实际上就是“数学化”的过程,是学生在数学学****中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。以下是两位老师利用同一素材教学“减法”的片段:
【教学片段1】
师:请同学们认真观察这两幅图,说一说从图上你看到了什么?
生:有5个小朋友在浇花,走了2个,剩下3个。
师:你真棒!谁再来说一说。
生:原来有5个小朋友在浇花,走了2个小朋友,还剩下3个小朋友。
师:很好!你知道怎样列式吗?
生:5-2=3。
教师听了满意地点点头,板书5-2=3。
接着教学减号及其读法。
【教学片段2】
师:谁来说一说第一幅图,你看到了什么?
生:从图中我看到了有5个小朋友在浇花。
师:第二幅图呢?
生:第二幅图中有2个小朋友去提水了,剩下3个小朋友。
师:你能把两幅图的意思连起来说吗?
生:有5个小朋友在浇花,走了2个,还剩下3个。
师:同学们观察得很仔细,也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗?
生:有5个小朋友在浇花,走了2个,还剩几个?
生(齐):3个。
师:对,大家能不能用圆片代替小朋友,将这一过程摆一摆呢?
(教师在行间指导学生摆圆片,并请一生将圆片摆在情境图的下面。)
师:(结合情境图和圆片说明)5个小朋友在浇花,走了2个,还剩3个;从5个圆片中拿走2个,还剩3个,都可以用同一个算式(学生齐接话:5-2=3)来表示。(在圆片下板书:5-2=3)
生齐读:5减2等于3。
师:谁来说一说这里的5表示什么?2、3又表示什么呢?
……
师:同学们说得真好!在生活中存在着许许多多这样的数学问题,5-2=3还可以表示什么呢?请同桌互相说一说。
生1:有5瓶牛奶,喝掉2瓶,还剩3瓶。
生2:树上有5只小鸟,飞走2只,还剩3只。
……
上述两段教学,所体现出来的教学着力点是不一样的。第一个片段,属于“就事论事”式的简单教学,教师对教学的定位完全停留在知识传授的层面上,“5-2=3”仅是一道题的解答算式而已。第二个片段,除了教学充分展开外,更主要的是渗透了初步的数学建模思想,训练的是学生抽象、概括、举一反三的学****能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行,而是和低年级学生数学学****的特点相贴切——由具体、形象的实例开始,借助于操作予以内化和强化,最后通过思维发散和联想加以扩展和推广,赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。
运用建模思想来指导小学数学教学,在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体,通过这样的具有“模型”功能的载体,帮助学生实现数学抽象,为后续学****提供强有力的基础支持。当然,对学生“模型”意识的培养和
“建模”方法的指导,要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求,低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化,高年级则可以更明确地引导学生关注数学学****中“模型”的存在,培养初步的建模能力。
三、“魔”。
所谓“魔”,即“着魔”,也就是学生对“模型”在数学学****中的运用有着深切的体验和感悟,并对之产生好奇,从而在数学学****中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。儿童数学教学的终极目标,应该是让学生都懂数学、爱数学,对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标,数学教学就不能只停留在知识和方法层面,而是要深入到数学的“腹地”,用数学自身的魅力来吸引学生。正如数学家米山国藏所说:“作为知识的数学出校门不到两年就忘了,唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等,这些随时随地地发生作用,使人终身受益”。要让学生能充分感受到数学模型和建模教学所产生的“魔力”,实际教学中,一方面要结合日常教学给学生以充分的体验和感受。比如,在二年级教学“确定位置”时,设定观察的规则(观察顺序)非常重要——“从左向右数是第几排”、“从前往后数是第几列”、“从下往上数是第几层”……如果我们结合这样的观察顺序在直观图上分别添加“横向带箭头的直线→”(坐标系中的“横轴”原型)和“纵向带箭头的直线↑”(坐标系中的“纵轴”原型),既将观察顺序形象表达,又蕴含了二维坐标(第一象限)的基本原理。如果学生在独立练****中也能模仿着使用,那感受会更加深刻。而在六年级学****br/>“确定位置”(用方向、角度、距离来确定平面图中任意一个位置)时,如果让学生试着总是以观测点为中心先画出一个“十字”坐标图然后再确定位置,那学生的观察不仅变得有序,而且准确性很高。在此基础上,老师再对学生进行“建模”、“用模”的学****水平进行适当评价和鼓励,教学的境界就会大大提升。另一方面,也可以在中高年级进行一些专题性的训练。我们曾以“鸡兔同笼”为例进行过这方面的尝试。在学生初步能用不同的假设思路解答鸡兔同笼的题目后,老师提问:“生活中你见过有人把鸡和兔放在一个笼子里养殖的吗?就是放在一起养殖,也没谁去做数头数脚这种无聊的事吧。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究去的,一千多年过去了,鸡兔同笼这道数学题还作为宝物似的流传到今?”(屏幕显示:“鸡兔同笼”有什么独特的魅力?)在学生对所提问题一时困惑皱眉时,老师提议带着这个问题来继续进行“龟鹤同游”和“人狗同行”的研究并再次提出疑问:“鸡兔同笼”有什么独特的魅力?”经过研究和比对,学生发现:“鸡兔同笼”不只是代表着鸡、兔同笼的问题,有很多类似的问题都可以看成是“鸡兔同笼”问题,如人马问题、牛鸡问题、汽车和自行车的轮子问题,等等。随后,师生共同研究“信封里放着5元和2元的钞票,共8张,34元,信封里5元和2元的钞票各有多少张?”,探讨其与鸡兔同笼问题的关联。经过比较和猜想,学生的认识再次提升:“这里的2元的钞票就相当于鸡有2只脚,而5元的钞票就相当于兔,是5只脚的怪兔”。最后,老师让学生联系生活,将一些实际问题编成“怪鸡”、“怪兔”同笼的数学问题并解答。到了课堂总结时,屏幕上第三次出示:
“鸡兔同笼”有什么独特的魅力?学生总结感受之后,老师顺势给以强化:从一个具体的数学问题出发,研究解法,并上升到一种模型,最后进行广泛的运用,数学就是这样发展起来的。同样,如果我们在学****各种数学问题时能有“模型”的意识,举一反三,能触类旁通,那么你必将会走向数学学****的自由王国。上述教学通过对“‘鸡兔同笼’有什么独特的魅力?”这一问题的三次追问把整节课串联起来,虽然每一次追问的层次和目标是不一样(第一次是针对具体的、“原生态”的鸡兔同笼问题发问,主要是激发学生的探究欲望,向更高的学****层次迈进;第二次是进一步明确“鸡兔同笼”问题的结构、模型,同时,又让学生很好地经历更高层次“数学化”的过程;第三次是帮助学生实现完整的“模型”建构,实现“形式的”数学知识向现实生活的“复归”),但是,其核心都是让学生从“模型”和“建模”的角度来亲近数学,了解数学。站在“高点”再回望探究之旅,学生对数学的认识就更加深入了,由此而产生的“魔力”,将深刻而持久地影响着他们的数学学****和生活。
这是数学教学的崇高境界。