文档介绍：大学线性代数知识点总结
第一章行列式
二三阶行列式
N阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
(奇偶)排列、逆序数、对换
行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式)
②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。
推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行(列),等于k乘以此行列式。
推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零;
推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。
④行列式具有分行(列)可加性
⑤将行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上,值不变
行列式依行(列)展开:余子式、代数余子式
定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则:
非齐次线性方程组:当系数行列式时,有唯一解:
齐次线性方程组:当系数行列式时,则只有零解
逆否:若方程组存在非零解,则D等于零
特殊行列式:
①转置行列式:
②对称行列式:
③反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零
④三线性行列式: 方法:用把化为零,。。化为三角形行列式
⑤上(下)三角形行列式:
行列式运算常用方法(主要)
行列式定义法(二三阶或零元素多的)
化零法(比例)
化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
第二章矩阵
矩阵的概念:(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)
矩阵的运算:加法(同型矩阵)---------交换、结合律
数乘---------分配、结合律
乘法注意什么时候有意义
一般AB=BA,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0
转置
(反序定理)
方幂:
几种特殊的矩阵:对角矩阵:若AB都是N阶对角阵,k是数,则kA、A+B、 AB都是n阶对角阵
数量矩阵:相当于一个数(若……)
单位矩阵、上(下)三角形矩阵(若……)
对称矩阵
反对称矩阵
阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0
分块矩阵:加法,数乘,乘法:类似,转置:每块转置并且每个子块也要转置
注:把分出来的小块矩阵看成是元素
逆矩阵:设A是N阶方阵,若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的, (非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)
初等变换1、交换两行(列)2.、非零k乘某一行(列)3、将某行(列)的K 倍加到另一行(列)初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆
初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的(对换阵倍乘阵倍加阵)
等价标准形矩阵
矩阵的秩r(A):满秩矩阵降秩矩阵若A可逆,则满秩
若A是非奇异矩阵,则r(AB)=r(B)
初等变换不改变矩阵的秩
求法:1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别:
都是数表;行列式行数列数一样,矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等;矩阵,行列式
逆矩阵注:①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆;
③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A可逆,则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的运算律:
1、可逆矩阵A的逆矩